"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Модуль показывает расстояние числа от нуля, поэтому его значение никогда не бывает отрицательным. Это свойство помогает решать уравнения и неравенства, где неизвестное находится под знаком модуля: уравнение часто распадается на два случая, а неравенство можно заменить двойным неравенством или объединением промежутков. Главное — учитывать знак правой части, правильно раскрывать модуль и проверять найденные значения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Модуль числа — это расстояние от числа до нуля на числовой прямой. Для положительного числа и нуля модуль равен самому числу: если t ≥ 0, то |t| = t; для отрицательного числа модуль равен противоположному числу: если t < 0, то |t| = −t. Например, |4| = 4 и |−4| = 4. Это определение позволяет понять, почему модуль не бывает отрицательным.
Уравнение с модулем — уравнение, в котором неизвестное содержится под знаком модуля, например |x − 2| = 5. Знак | | охватывает выражение, значение которого может зависеть от неизвестного. Чтобы найти корни такого уравнения, приходится учитывать, каким бывает знак выражения под модулем.
Неравенство с модулем — неравенство, в котором неизвестное содержится под знаком модуля, например |x + 1| < 3. Оно задаёт условие на расстояние выражения от нуля. Понимание этого расстояния помогает заменить модуль более привычными неравенствами и найти подходящие значения x.
Равносильные уравнения или неравенства — те, множества решений которых совпадают. Например, при верном преобразовании можно заменить исходную запись более простой, не потеряв подходящие значения и не добавив лишних. Это свойство нужно сохранять на каждом шаге, иначе в ответ попадут неверные числа или часть решений исчезнет.
Равенство |f(x)| = a описывает ситуацию, когда значение f(x) находится на расстоянии a от нуля. Расстояние не может быть отрицательным, поэтому при a < 0 равенство невозможно. Если a ≥ 0, на таком расстоянии от нуля могут находиться два числа: a и −a, значит, решают f(x) = a и f(x) = −a и объединяют ответы.
В равенстве |f(x)| = g(x) правая часть тоже может меняться вместе с x. Сначала требуется g(x) ≥ 0, потому что модуль не может равняться отрицательному числу. При этом значение f(x) может совпасть с g(x) или быть противоположным ему, поэтому получают два случая: g(x) ≥ 0 и f(x) = g(x), либо g(x) ≥ 0 и f(x) = −g(x).
Если a > 0, условие |f(x)| < a означает, что расстояние от f(x) до нуля меньше a. Значит, f(x) лежит между числами −a и a, и получается двойное неравенство −a < f(x) < a. При a ≤ 0 решений нет: расстояние не может быть меньше отрицательного числа или меньше нуля.
При a ≥ 0 условие |f(x)| > a означает, что расстояние от f(x) до нуля больше a. Тогда f(x) находится левее −a или правее a, то есть f(x) < −a или f(x) > a. Если a < 0, модуль больше a при любом допустимом x, ведь он неотрицателен; поэтому ограничений на f(x) это неравенство не накладывает.
Для более сложного выражения сначала определяют допустимые значения x, то есть исключают те, при которых выражение не имеет смысла. Затем можно найти, где выражение под модулем положительно или отрицательно, и раскрыть модуль по этим случаям. Другой путь — применить правила для уравнения или неравенства с модулем, если его вид подходит; в конце проверяют, что ответы удовлетворяют исходному условию.
| Вид | Условие | Равносильная запись |
|---|---|---|
| |f(x)| = a | a < 0 | Решений нет |
| |f(x)| = a | a ≥ 0 | f(x) = a или f(x) = −a |
| |f(x)| = g(x) | Для каждого случая | g(x) ≥ 0 и f(x) = g(x), или g(x) ≥ 0 и f(x) = −g(x) |
| |f(x)| < a | a > 0 | −a < f(x) < a |
| |f(x)| ≤ a | a ≥ 0 | −a ≤ f(x) ≤ a |
| |f(x)| > a | a ≥ 0 | f(x) < −a или f(x) > a |
| |f(x)| ≥ a | a ≥ 0 | f(x) ≤ −a или f(x) ≥ a |
Сначала проверьте условие на a: от его знака зависит, есть ли решения и какую запись использовать. Для случаев «меньше» значения f(x) ограничены промежутком около нуля, а для «больше» лежат за его пределами. При отрицательном a модуль неравенства также проверяют отдельно по его неотрицательности.
Задача 1. Решить уравнение |2x − 3| = 5. Правая часть положительна, поэтому выражение под модулем может равняться как 5, так и −5. Решим оба уравнения и соберём полученные корни. Такой приём учитывает оба числа, находящиеся на расстоянии 5 от нуля.
Ответ: −1; 4. При подстановке оба значения дают модулю значение 5, следовательно, оба подходят исходному уравнению.
Задача 2. Решить неравенство |x + 1| < 3. Модуль меньше положительного числа, поэтому выражение внутри него должно находиться между −3 и 3. После замены получим двойное неравенство. Решая его, выполняем одинаковые действия со всеми тремя частями.
Ответ: x ∈ (−4; 2). Концы не входят в промежуток, потому что исходное неравенство строгое: при x = −4 или x = 2 модуль равен 3, а не меньше 3.
Задача 3. Решить уравнение |x − 2| = x + 1. Правая часть должна быть неотрицательной, поэтому сначала нужно учесть условие x + 1 ≥ 0. Затем знак выражения x − 2 определяет, как раскрыть модуль. Решения каждого случая проверяем с учётом его условия и исходного равенства.
Ответ: ½. Проверка подтверждает, что найденное значение подходит исходному уравнению, а первый случай решений не дал.
Ошибка: для |f(x)| = a записывают только f(x) = a. Так происходит, если забыть, что одинаковому расстоянию от нуля соответствуют два числа, противоположные по знаку. Проверьте себя: при a > 0 выпишите оба случая, f(x) = a и f(x) = −a, а затем решите каждый.
Ошибка: в |f(x)| = g(x) не учитывают условие g(x) ≥ 0. Правая часть иногда воспринимается просто как ещё одно выражение, но отрицательное значение не может быть модулем. Перед решением проверьте знак g(x) или включите условие g(x) ≥ 0 в каждый рассматриваемый случай.
Ошибка: неравенство |f(x)| > a заменяют записью −a < f(x) < a. Такую запись применяют для знака «меньше»: она помещает f(x) внутрь промежутка, тогда как при «больше» f(x) находится снаружи. Для a ≥ 0 проверьте, что записали два случая: f(x) < −a или f(x) > a.
Ошибка: раскрывают модуль, не определив знак выражения под ним, или не проверяют найденные корни. Знак может меняться при разных x, а уравнение, полученное в одном случае, подходит лишь при условии этого случая. Найдите границы смены знака, добавьте условия к каждому случаю и подставьте ответы в исходное уравнение.
Для решения таких задач нужны определение модуля и навыки решения линейных уравнений и неравенств. Умение изображать промежутки на числовой прямой помогает увидеть, какие значения входят в ответ и входят ли его концы. Эти приёмы продолжают использоваться в более сложных уравнениях и неравенствах, где решение разбивают на случаи по знаку выражения. Они также пригодятся при изучении функций, содержащих модуль.
Почему уравнение |f(x)| = a может иметь два решения?
Потому что числа f(x) и −f(x) находятся на одинаковом расстоянии от нуля. Поэтому при a > 0 нужно проверить оба уравнения: f(x) = a и f(x) = −a. Иногда подходящее значение только одно или решений нет.
Что делать, если правая часть уравнения с модулем зависит от x?
Сначала учесть, что правая часть g(x) должна быть неотрицательной. Затем решить случаи f(x) = g(x) и f(x) = −g(x), добавив к каждому условие g(x) ≥ 0. Найденные значения проверить в исходном уравнении.
Почему при раскрытии модуля нужно рассматривать разные случаи?
Если выражение под модулем неотрицательно, модуль оставляет его без изменения, а если отрицательно — меняет знак. Знак выражения может зависеть от x, поэтому сначала находят, где оно положительно и где отрицательно.
Чем отличаются способы решения неравенств |f(x)| < a и |f(x)| > a?
При a > 0 условие |f(x)| < a означает, что f(x) находится между −a и a: −a < f(x) < a. Условие |f(x)| > a означает, что f(x) расположен вне этого промежутка: f(x) < −a или f(x) > a.
Нужно ли проверять найденные значения в исходном уравнении?
Да, особенно если модуль раскрывали по случаям или преобразовывали уравнение с переменной в правой части. Проверка помогает отсеять значения, которые не подходят исходному условию или нарушают ограничения.
§ 12. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля
