"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Модуль превращает число в его расстояние до нуля, поэтому выражение под знаком модуля может иметь два знака. Уравнения и неравенства с модулем решают раскрытием модуля по случаям, переходом к двойным неравенствам или объединением промежутков. Главное — учитывать знак правой части, сохранять равносильность преобразований и проверять найденные значения в исходном условии.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Модуль числа — это расстояние от числа до нуля на координатной прямой. Поэтому |a| = a, если a ≥ 0, и |a| = −a, если a < 0. Это правило позволяет заменить запись с модулем обычным выражением, когда известен его знак.
Уравнение, содержащее знак модуля, — это равенство, в котором неизвестное входит в выражение под знаком модуля, например |2x − 3| = 5. Решение должно удовлетворять не только полученным после преобразований условиям, но и исходному уравнению. Проверка особенно нужна, если модуль раскрывали по промежуткам.
Неравенство, содержащее знак модуля, — это условие, где неизвестное входит под знак модуля: |3x + 1| ≤ 7. Его решением обычно является не одно число, а множество чисел, например отрезок, интервал или объединение промежутков. Геометрически это множество отмечают на координатной прямой.
Равносильные преобразования сохраняют множество решений уравнения или неравенства. Например, к обеим частям можно прибавить одно и то же число, но при умножении неравенства на отрицательное число знак меняется. Смысл равносильности — после каждого шага получать условие с теми же решениями.
Модуль раскрывается по-разному из-за своего геометрического смысла: расстояние не может быть отрицательным. Если выражение A неотрицательно, его расстояние до нуля равно самому A, поэтому |A| = A. Если A < 0, расстояние равно противоположному числу, поэтому |A| = −A.
В уравнении |f(x)| = a левая часть неотрицательна, значит при a < 0 решений быть не может. При a ≥ 0 число f(x) может быть равно либо a, либо −a: оба числа имеют один и тот же модуль. Поэтому исходное уравнение заменяется двумя уравнениями, а их решения объединяются.
Условие |f(x)| < a означает, что расстояние значения f(x) от нуля меньше a. При a > 0 это значит, что f(x) находится между −a и a: −a < f(x) < a. Аналогично, знак ≤ включает границы и даёт −a ≤ f(x) ≤ a; при отрицательном a такие условия решений не имеют.
Условие |f(x)| > a описывает значения, удалённые от нуля дальше, чем a. При a ≥ 0 они лежат левее −a или правее a, поэтому получаем объединение f(x) < −a или f(x) > a. Для знака ≥ границы входят в ответ: f(x) ≤ −a или f(x) ≥ a.
Если под модулем стоит сложное выражение, его знак заранее неизвестен. Сначала находят нули этого выражения и разбивают числовую прямую на промежутки, где знак постоянен. Затем на каждом промежутке раскрывают модуль по правилу, решают полученное условие и оставляют только корни, принадлежащие своему промежутку.
| Вид условия | Равносильная запись | Ограничения на параметр a | Геометрический смысл |
|---|---|---|---|
| |f(x)| = a | f(x) = a или f(x) = −a | a ≥ 0; при a < 0 решений нет | Значение f(x) равно одному из двух чисел на расстоянии a от нуля |
| |f(x)| < a | −a < f(x) < a | a > 0; при a ≤ 0 решений нет | Внутри интервала (−a; a) |
| |f(x)| ≤ a | −a ≤ f(x) ≤ a | a ≥ 0; при a < 0 решений нет | На отрезке [−a; a] |
| |f(x)| > a | f(x) < −a или f(x) > a | a ≥ 0; при a < 0 все значения подходят | Вне отрезка [−a; a] |
| |f(x)| ≥ a | f(x) ≤ −a или f(x) ≥ a | a ≥ 0; при a ≤ 0 все значения подходят | Вне интервала (−a; a), включая границы |
| |f(x)| = |g(x)| | f(x) = g(x) или f(x) = −g(x) | Ограничений на a нет | Значения f(x) и g(x) равноудалены от нуля |
Сначала определите, какой вид условия дан, и проверьте знак числа a. Затем выберите строку таблицы и решите полученное обычное уравнение или неравенство. При сложных функциях дополнительно учитывайте область определения и проверяйте ответ в исходной записи.
Правая часть положительна, поэтому выражение под модулем может принимать два значения, равноудалённых от нуля. Рассмотрим оба варианта и объединим найденные корни.
Ответ: x = −1; 4.
Знак ≤ означает, что выражение 3x + 1 должно находиться между −7 и 7, включая границы. Поэтому вместо модуля получаем двойное неравенство и решаем его по шагам.
Ответ: x ∈ [−8/3; 2].
Левая часть неотрицательна, поэтому сначала необходимо потребовать x ≥ 0. Выражение x² − 4 меняет знак при x = 2, значит рассмотрим два промежутка, а затем проверим полученные значения.
Ответ: x = (√17 − 1)/2; (√17 + 1)/2.
Иногда для |f(x)| = a записывают только f(x) = a. Ошибка возникает потому, что забывают: положительное число и его противоположное имеют одинаковые модули. Проверяйте себя вопросом: учтён ли случай f(x) = −a?
Формулу для |f(x)| < a порой применяют при a < 0. Это невозможно, поскольку модуль неотрицателен, а число не может быть одновременно меньше отрицательного расстояния. Сначала всегда определяйте знак правой части.
При |f(x)| ≥ a путают внутреннюю область с внешней и записывают промежуток между границами. На самом деле большие по модулю значения находятся снаружи: f(x) ≤ −a или f(x) ≥ a. Полезно представить координатную прямую и отметить точки −a и a.
Возведение в квадрат без проверки знаков может изменить смысл неравенства или добавить посторонние решения. Для равенства сначала убедитесь, что обе части неотрицательны, а для неравенства отдельно анализируйте знак каждой стороны. Окончательный ответ проверяйте в исходном условии.
Перед изучением темы нужны свойства модуля, координатная прямая, линейные уравнения и двойные неравенства. Эти знания помогают понимать расположение чисел относительно нуля и выполнять равносильные преобразования.
Модуль используется при решении квадратных уравнений и неравенств, задач с параметрами и построении графиков функций. Особенно полезно умение разбивать числовую прямую на промежутки и анализировать знак выражения.
Почему уравнение |f(x)| = a иногда не имеет решений?
Модуль не бывает отрицательным. Поэтому при a < 0 уравнение невозможно, а при a ≥ 0 решения ищут из двух уравнений: f(x) = a и f(x) = −a.
Чем отличаются случаи |f(x)| < a и |f(x)| > a?
В первом случае значение f(x) находится внутри отрезка или интервала около нуля: −a < f(x) < a. Во втором оно лежит вне этого промежутка: f(x) < −a или f(x) > a.
Когда при раскрытии модуля нужно рассматривать два случая?
Два случая нужны, когда модуль приравнивают к неотрицательному числу или раскрывают без заранее известного знака выражения. Тогда используют f(x) = a и f(x) = −a либо отдельно рассматривают знаки выражения под модулем.
Можно ли всегда возводить уравнение с модулем в квадрат?
Для равенства |f(x)| = a возведение в квадрат допустимо, если учтено условие a ≥ 0: получится f(x)² = a². Для неравенств такой переход требует проверки знаков, иначе можно изменить смысл условия или получить лишние решения.
Как решать уравнение, если под знаком модуля стоит квадратный трёхчлен?
Сначала находят нули квадратного трёхчлена и по ним разбивают числовую прямую на промежутки. На каждом промежутке определяют знак выражения, раскрывают модуль и затем проверяют корни в исходном уравнении.
7. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля
