6. Отыскание рациональных корней уравнений с целыми коэффициентами

Определения и обозначения

Уравнение с целыми коэффициентами — многочленное уравнение вида aₙxⁿ + ... + a₁x + a₀ = 0, где все коэффициенты целые и aₙ ≠ 0. Такое условие позволяет применять свойства делимости целых чисел.

Рациональный корень — рациональное число, при подстановке которого левая часть уравнения становится равной нулю. Найти такой корень значит найти число, дающее точное равенство, а не приближённое значение.

Приведённая дробь p/q — запись рационального числа, в которой p и q — взаимно простые целые числа, q ≠ 0. Несократимая запись нужна, чтобы отдельно и однозначно анализировать числитель и знаменатель.

Теорема о рациональных корнях утверждает: если ненулевой корень многочлена с целыми коэффициентами равен p/q в приведённом виде, то p делит свободный член, а q делит старший коэффициент. Значит, поиск можно свести к конечному списку кандидатов.

Как это устроено

Ненулевой рациональный корень записывают как x = p/q, где дробь несократима. Это важно: условие взаимной простоты позволяет отделить множители, относящиеся к числителю, от множителей знаменателя. Без сокращения одна и та же дробь могла бы породить лишние и слишком слабые условия.

Подставим p/q в уравнение и умножим равенство на qⁿ. Получим aₙpⁿ + aₙ₋₁pⁿ⁻¹q + ... + a₁pqⁿ⁻¹ + a₀qⁿ = 0. Переносим последнее слагаемое в другую часть: a₀qⁿ делится на p, а так как p и q взаимно просты, то p делит a₀.

Аналогично первые n слагаемых после переноса показывают, что aₙpⁿ делится на q. Числа p и q взаимно просты, поэтому q не может получить множитель от pⁿ и должен делить aₙ. Так появляются два ограничения: p | a₀ и q | aₙ.

Если a₀ = 0, отдельно проверяют x = 0: подстановка сразу даёт ноль. В этом случае многочлен имеет множитель x, его выносят, а оставшуюся часть рассматривают дальше. Это проще, чем включать ноль в список дробей.

Для ненулевых корней выписывают все делители |a₀| и |aₙ|, составляют дроби p/q и добавляют оба знака. Затем кандидатов проверяют подстановкой или делением многочлена на линейный множитель. Найденный корень r даёт множитель x − r, поэтому после деления поиск продолжают для многочлена меньшей степени.

Поиск рациональных корней многочлена

Сначала определите свободный член и старший коэффициент. Затем выберите подходящую строку таблицы и составьте полный список кандидатов, не забывая о знаках. Теорема сокращает перебор, но окончательное решение появляется только после проверки.

Разбор задач

1. Многочлен x³ − 6x² + 11x − 6

Свободный член равен −6, поэтому возможны целые кандидаты ±1, ±2, ±3, ±6. Проверка показывает, что корнем является 1, после чего многочлен можно разделить на x − 1.

1. Получаем x² − 5x + 6.
2. Его корни: 2 и 3, так как x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
3. Итак, x³ − 6x² + 11x − 6 = (x − 1)(x − 2)(x − 3).

Ответ: корни 1, 2, 3.

2. Многочлен 6x³ − 13x² + x + 2

Здесь свободный член равен 2, а старший коэффициент — 6. Поэтому кроме целых чисел нужно проверить дроби со знаменателями 2, 3 и 6; среди кандидатов есть 1/2 и −1/3.

1. Подстановка 1/2 даёт 0, значит, множитель равен x − 1/2.
2. Подстановка −1/3 также даёт 0, значит, есть множитель x + 1/3.
3. По сумме корней третий корень равен 13/6 − 1/2 + 1/3 = 2.

Ответ: корни 1/2, −1/3, 2; разложение: 6(x − 1/2)(x + 1/3)(x − 2).

3. Многочлен 6x⁴ + x³ − x² + x − 2

Кандидаты имеют вид ±p/q, где p делит 2, а q делит 6: ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6. Последовательная подстановка показывает, что ни один из них не обращает многочлен в ноль.

1. Следовательно, рациональных корней у данного многочлена нет.
2. Поэтому деление на линейные множители с рациональными коэффициентами начать нельзя.
3. Множитель x² + 1 также не может быть остатком после такого деления: подстановка x² = −1 даёт ненулевой остаток 5.

Ответ: рациональных корней нет; указанное выражение не раскладывается на множители с рациональными линейными множителями. Для получения остатка x² + 1 в условии должен быть другой многочлен.

Типичные ошибки

Проверяют только делители свободного члена. Так находят лишь целые кандидаты и пропускают дроби. Проверьте также делители старшего коэффициента: они образуют знаменатели.

Не сокращают дробь p/q. Из-за этого появляются лишние записи одного числа и неверно применяются условия делимости. Перед составлением списка убедитесь, что НОД(p, q) = 1.

Не учитывают отрицательные делители. Корень может быть отрицательным, поэтому к каждой положительной дроби добавляйте вариант с минусом. Сверяйте список с формой ±p/q.

Останавливаются после неудачной проверки одного кандидата. Теорема не утверждает, что первый подходящий по виду кандидат является корнем. Если значение не равно нулю, переходите ко всему оставшемуся списку.

Связь с другими темами

Для метода нужны знания о рациональных числах, сокращении дробей, делителях и признаках делимости. Также пригодятся понятия корня многочлена, теорема Безу и деление многочленов. Найденные корни помогают разлагать многочлены на множители и решать уравнения высоких степеней.

Что запомнить

• Рациональный корень записывают в виде несократимой дроби p/q.
• Числитель p делит свободный член многочлена.
• Знаменатель q делит старший коэффициент.
• Если свободный член равен нулю, то 0 — корень уравнения.
• В список кандидатов включают положительные и отрицательные значения.
• Теорема даёт кандидатов, но каждый из них нужно проверить.
• После нахождения корня многочлен можно разделить на соответствующий линейный множитель.