5. Доказательство неравенств

Определения и обозначения

Неравенство — утверждение о сравнении двух выражений с помощью знаков >, <, ≥ или ≤. Например, x² + 1 ≥ 2x сравнивает значения двух выражений при одном и том же x. Понимание знака задаёт направление сравнения и помогает правильно преобразовывать запись.

Доказательство неравенства — последовательность рассуждений, устанавливающая истинность утверждения при заданных условиях. В ней каждый переход должен следовать из известных свойств чисел или уже доказанных фактов. Это нужно, чтобы результат был верен не для отдельных примеров, а для всех допустимых значений переменных.

Равносильные преобразования — преобразования, сохраняющие множество решений или истинность исходного неравенства. К ним относятся, например, прибавление одного и того же выражения к обеим частям и умножение на положительное число. Такие преобразования позволяют заменить сложную форму более удобной, не изменив содержание задачи.

Оценка выражения — установление верхней или нижней границы его значения. Запись A ≥ B означает, что B — нижняя граница для A, а A ≤ B — верхняя граница. Поиск оценки помогает понять, насколько большим или малым может быть выражение и достигается ли граница.

Как это устроено

Доказательство обычно начинают с переноса всех слагаемых в одну часть, потому что сравнение A ≥ B превращается в A − B ≥ 0. После этого исследуют знак одной разности, а не двух независимых выражений. Её можно разложить на множители, сгруппировать слагаемые или свернуть в квадрат, и тогда знак становится очевидным.

Неотрицательность квадрата служит основой многих доказательств: для любого t выполняется t² ≥ 0. Произведение двух выражений одного знака также неотрицательно, поэтому полезно находить множители, знак которых известен. Сумма квадратов и других неотрицательных слагаемых не может быть отрицательной, что позволяет доказывать целые семейства неравенств.

При умножении или делении обеих частей нужно знать знак множителя, поскольку отрицательное число меняет направление сравнения. Если множитель положителен, знак сохраняется; если отрицателен, например A ≥ B превращается в cA ≤ cB. При неизвестном знаке выражения сначала разбирают случаи или выбирают другой способ преобразования.

Переход к равносильному неравенству нужен не ради самой записи, а для выбора удобной формы. Например, дробное неравенство при положительном знаменателе можно умножить на него и получить сравнение многочленов. Удобная форма должна быть проще исходной и позволять применить известный признак неотрицательности.

После доказательства полезно найти случай равенства, при котором разность обращается в нуль. Если доказательство основано на (x − 1)² ≥ 0, равенство возможно при x = 1. Такой случай проверяет точность оценки: достигнутая граница является точной, а не случайно выбранной более слабой границей.

Основные приёмы доказательства неравенств

Сначала определите, какую разность нужно рассмотреть: левую часть минус правую. Затем ищите форму квадрата, сумму квадратов или произведение с понятными знаками. В последнем столбце указано, какое условие даст равенство; его нужно проверять после основного доказательства.

Разбор задач

Задача 1

Докажем, что x² + 1 ≥ 2x для любого действительного x. Переменная может быть любой, поэтому нельзя подставлять только несколько чисел: нужно получить общий признак. Искомая граница будет точной, если разность частей где-то станет нулём.

1. Перенесём правую часть влево: x² + 1 − 2x ≥ 0.
2. Свернём выражение по формуле квадрата разности: x² − 2x + 1 = (x − 1)².
3. Получим (x − 1)² ≥ 0, что верно для любого действительного x.
4. Равенство выполняется при x − 1 = 0, то есть при x = 1.

Ответ: неравенство доказано, равенство достигается при x = 1. Главная идея состоит в замене разности исходных частей квадратом.

Задача 2

Пусть a и b положительны, докажем a⁄b + b⁄a ≥ 2. Условие положительности важно: оно гарантирует, что ab > 0 и умножение на эту величину не изменит знак. После избавления от знаменателей получится знакомое неравенство для квадрата.

1. Умножим обе части на положительное ab: a² + b² ≥ 2ab.
2. Перенесём всё в левую часть: a² − 2ab + b² ≥ 0.
3. Представим разность как квадрат: (a − b)² ≥ 0.
4. Равенство возможно при a = b, что совместимо с условием положительности.

Ответ: a⁄b + b⁄a ≥ 2, причём равенство выполняется при a = b. Если бы знаки a и b не были заданы, такой переход с умножением потребовал бы дополнительного разбора.

Задача 3

Докажем для любых действительных a, b и c, что a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca. Перенесём правую часть и подберём разность квадратов попарных разностей. Такой вид сразу учитывает все три переменные и не требует знать их знаки.

1. Рассмотрим разность: a² + b² + c² − ab − bc − ca.
2. Сгруппируем её по формуле: ½((a − b)² + (b − c)² + (c − a)²).
3. Каждый квадрат неотрицателен, значит и их сумма, умноженная на ½, неотрицательна.
4. Все три квадрата равны нулю одновременно при a = b = c.

Ответ: исходное неравенство доказано; равенство достигается, когда все три числа равны. Представление через сумму квадратов особенно удобно для неравенств с несколькими переменными.

Типичные ошибки

Умножение или деление на выражение неизвестного знака. Ошибка возникает, когда знак знаменателя или множителя считают положительным без условия. Проверьте знак выражения заранее, а при необходимости разделите решение на случаи.

Возведение обеих частей в квадрат без проверки знаков. Ученик переносит знакомое правило, не учитывая, что отрицательные числа меняют порядок после квадратирования. Перед операцией выясните, неотрицательны ли обе части, или докажите нужное утверждение другим способом.

Замена достаточного условия равносильным. Преобразование может гарантировать исходное неравенство, но не охватывать все его случаи либо добавить лишние. Проверьте обратный переход: из полученного условия должно следовать исходное и наоборот.

Поиск только случая равенства. Значения, при которых граница достигается, не доказывают, что во всех остальных случаях знак сохраняется. Сначала покажите неотрицательность разности для любых допустимых переменных, а затем найдите равенство.

Связь с другими темами

Для доказательства нужны свойства действительных чисел, правила знаков произведения и частного, а также формулы сокращённого умножения. Без них трудно определить знак выражения и распознать квадрат разности.

Тема опирается на преобразование выражений и решение неравенств. Умение переносить слагаемые, раскладывать на множители и учитывать область допустимых значений помогает выбирать равносильный путь доказательства.

Эти приёмы применяются при исследовании функций, где ищут знак разности значений, в задачах с параметрами и при изучении более сложных неравенств. Суммы квадратов и точные оценки встречаются также в геометрии и математическом анализе.

Что запомнить

• Чтобы доказать A ≥ B, удобно исследовать разность A − B.
• Квадрат любого действительного выражения неотрицателен.
• Сумма неотрицательных выражений неотрицательна.
• При умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется.
• Каждый переход в доказательстве должен быть обоснован.
• Случай равенства показывает, когда достигнута граница оценки.