4. Решение неравенств

Определения и обозначения

Неравенство — запись, сравнивающая два выражения с помощью знаков >, <, ≥ или ≤. Например, 2x + 1 > 5 сообщает, какие значения левой части больше правой. Это обозначение задаёт условие, которое нужно проверить или решить.

Решение неравенства — значение переменной, при котором неравенство становится верным; множество всех таких значений тоже называют решением. Например, для x > 3 подходят все числа правее 3 на числовой прямой. Поэтому ответом нередко бывает не одно число, а целый промежуток.

Равносильные неравенства — неравенства, имеющие одно и то же множество решений. Преобразуя условие, стремятся получить более простое, но равносильное неравенство. Тогда найденный ответ подходит и исходной записи.

Метод интервалов — способ решения неравенств по знакам выражения на промежутках, разделённых его нулями и точками разрыва. Нулями называют значения, при которых числитель или всё выражение обращается в ноль, а точками разрыва — значения, где выражение не определено. Метод особенно удобен для произведений, многочленов и дробей.

Как это устроено

Уравнение обычно требует найти отдельные значения, делающие две части равными. Неравенство задаёт условие «больше» или «меньше», поэтому подходящие числа часто идут подряд на числовой оси. Из-за этого результатом становятся луч, отрезок, интервал или объединение нескольких промежутков.

Прибавление или вычитание одного и того же выражения сохраняет порядок чисел: если одно число было больше другого, одинаковое смещение не изменит их взаимное положение. Поэтому слагаемые можно переносить из одной части в другую, меняя их знак. Умножение на положительное число также сохраняет порядок, а умножение на отрицательное отражает числа относительно нуля и меняет порядок на противоположный.

Линейное неравенство приводят к виду x > a, x < a, x ≥ a или x ≤ a. Сначала раскрывают скобки и переносят слагаемые, затем делят на коэффициент при x. Если коэффициент положителен, знак сохраняется, если отрицателен — переворачивается; граничное число включают только при нестрогом знаке.

Для рационального или многочленного выражения сначала находят значения, при которых оно равно нулю или не определено. Эти точки разбивают ось на интервалы, внутри которых знак не меняется, потому что множители не проходят через ноль. На каждом интервале проверяют знак удобной точкой, а затем выбирают интервалы по условию неравенства. При слове «или» подходящие множества объединяют, а при слове «и» оставляют только их общую часть, то есть пересечение.

Основные способы решения неравенств

Выберите строку, соответствующую виду задания, и выполните указанный основной приём. В столбце «Что проверить» собраны места, где чаще всего возникает ошибка. Форма ответа помогает представить результат на числовой прямой.

Разбор задач

1. Линейное неравенство

Задача: решить неравенство 3x − 5 ≤ 7. Здесь переменная встречается только в первой степени, поэтому достаточно изолировать её. Коэффициент при x положительный, значит, при делении знак не изменится.

1. Прибавим 5 к обеим частям: 3x ≤ 12.
2. Разделим обе части на 3: x ≤ 4. Число 3 положительное, поэтому направление знака сохраняется.
3. На оси отметим 4 закрашенной точкой и возьмём луч влево, поскольку подходят числа, не превосходящие 4.

Ответ: x ∈ (−∞; 4]. Квадратная скобка показывает, что граничное значение 4 включено.

2. Квадратное неравенство

Задача: решить неравенство x² − 5x + 6 > 0. Разложим левую часть на множители: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). Нужно определить, где произведение положительно, причём сами корни при строгом знаке не подходят.

1. Найдём нули: x = 2 и x = 3, затем разобьём ось на интервалы (−∞; 2), (2; 3) и (3; +∞).
2. При x < 2 оба множителя отрицательны, поэтому произведение положительно. Между 2 и 3 знаки множителей разные, значит произведение отрицательно.
3. При x > 3 оба множителя положительны, поэтому выражение снова положительно. Выбираем крайние интервалы.

Ответ: x ∈ (−∞; 2) ∪ (3; +∞). Точки 2 и 3 выколоты, потому что при них выражение равно нулю.

3. Рациональное неравенство

Задача: решить неравенство (x − 1)(x + 2)/(x − 3) ≤ 0. Критическими будут нули числителя −2 и 1, а также ноль знаменателя 3. Последнюю точку нужно исключить независимо от знака.

1. Отметим точки −2, 1 и 3 и рассмотрим интервалы (−∞; −2), (−2; 1), (1; 3), (3; +∞).
2. Знаки выражения на них соответственно такие: −, +, −, +. Это можно получить подстановкой одной удобной точки в каждый интервал или анализом знаков множителей.
3. Для условия «≤ 0» берём отрицательные промежутки и нули числителя −2 и 1. Точку 3 не включаем, так как знаменатель обращается в ноль.

Ответ: x ∈ (−∞; −2] ∪ [1; 3). Проверка границ показывает, что нули числителя включены, а точка знаменателя остаётся выколотой.

Типичные ошибки

При делении или умножении на отрицательное число иногда оставляют прежний знак, потому что переносят правило только для положительных чисел. Из-за этого получается противоположный ответ. Проверьте себя на простом примере: −2 < 1, но после умножения на −1 выходит 2 > −1.

В ответ включают значение, обращающее знаменатель в ноль, поскольку оно попало в подходящий промежуток. Такая точка запрещена исходным выражением и не является его областью определения. Выпишите отдельно все нули знаменателя и выколите их на оси.

После нахождения корней иногда выбирают интервалы по расположению корней, не проверяя знак выражения внутри них. Корень только разделяет ось, но не сообщает, какой знак находится рядом. Возьмите по одной пробной точке из каждого промежутка и вычислите знак.

При решении системы ответы объединяют, хотя системе должны удовлетворять все условия одновременно. Обратная ошибка возникает, когда для слова «или» оставляют только общую часть. Подставьте любое число из записанного ответа в каждое исходное условие.

Связь с другими темами

Для решения неравенств нужны преобразование выражений, решение уравнений, работа с числовой прямой и понимание интервалов. Эти навыки позволяют правильно переносить слагаемые, находить корни и изображать ответ.

Неравенства помогают исследовать функции: по их решениям находят промежутки возрастания, убывания и знакопостоянства, а также строят графики. Нули функции и точки, где она не определена, становятся важными границами таких промежутков.

Те же методы используются в задачах с параметрами, системах и прикладных ограничениях. Например, с помощью неравенств описывают допустимые значения времени, длины, скорости или стоимости.

Что запомнить

• Решение неравенства — это множество значений переменной, а не одно число.
• Прибавление или вычитание одного и того же числа знак неравенства не меняет.
• При умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется.
• Строгие знаки соответствуют открытым концам промежутков, нестрогие — закрытым.
• Точки, в которых знаменатель равен нулю, всегда исключаются из ответа.
• В системе решения пересекают, при выборе «или» объединяют.
• В методе интервалов знак выражения исследуют между критическими точками.