36. Доказательство неравенств

Определения и обозначения

Числовое неравенство — это соотношение между двумя числами или выражениями, записанное с помощью знака >, <, ≥ или ≤. Знаки > и < называют строгими: равенство при них не допускается. Знаки ≥ и ≤ нестрогие, потому что допускают, что сравниваемые величины равны; различие важно учитывать при доказательстве.

Доказательство неравенства — рассуждение, устанавливающее, что неравенство истинно при заданных условиях. Например, условие может ограничивать значения переменной или задавать, какое число больше другого. Доказательство нужно, чтобы обосновать утверждение для всех допустимых значений, а не только для отдельных примеров.

Разность левой и правой частей — выражение, полученное вычитанием правой части из левой. Чтобы доказать a > b, достаточно показать, что a − b > 0; при доказательстве a < b рассматривают b − a. Такой способ полезен, когда разность можно упростить или представить в виде заведомо положительного выражения.

Равносильные неравенства — неравенства, имеющие одни и те же решения, то есть верные при одинаковых значениях переменных. При доказательстве преобразования должны сохранять равносильность или давать шаг, достаточный для вывода нужного утверждения. Если перейти только к следствию, из его истинности не всегда можно вернуться к исходному неравенству.

Как это устроено

Чтобы доказать a > b, рассматривают разность a − b и стараются показать, что она положительна. Это работает потому, что разность показывает, на сколько левая часть больше правой: при положительном результате левая часть действительно больше. Если разность не упрощается сразу, можно раскрыть скобки, привести подобные слагаемые или разложить выражение на множители. Для нестрогого знака ≥ вместо положительности достаточно доказать неотрицательность разности.

Прибавление одного и того же числа к обеим частям не меняет истинность неравенства. Например, разность новых частей равна (a + c) − (b + c), то есть a − b: прибавленное число сокращается. Поэтому, если исходная разность положительна, она останется положительной и после такого преобразования. Это позволяет переносить слагаемые, не меняя знак сравнения.

Умножение обеих частей на положительное число сохраняет направление неравенства, так как положительный множитель не меняет знак разности. При умножении на отрицательное число знак меняется на противоположный: отрицательный множитель превращает положительную разность в отрицательную. Поэтому при преобразовании нужно сначала выяснить знак множителя. Если он зависит от переменной и может быть как положительным, так и отрицательным, нельзя применять одно правило без разбора случаев.

Если неравенства одного направления верны, их можно складывать почленно. Например, из a > b следует a − b > 0, а из c > d следует c − d > 0. Сумма положительных чисел положительна, значит (a + c) − (b + d) > 0, откуда a + c > b + d. Если направления разные, такой вывод автоматически не следует: при сложении разности могут компенсировать друг друга.

При сравнении квадратов неотрицательных выражений порядок сохраняется: если A ≥ B ≥ 0, то A² ≥ B². Причина в том, что при умножении неотрицательных величин увеличение множителя не уменьшает произведение. Но для отрицательных чисел квадраты могут нарушить исходный порядок: например, −3 < −2, а 9 > 4. Поэтому перед возведением обеих частей в квадрат обязательно проверяют, что обе они неотрицательны.

Приёмы доказательства неравенств

Сначала выберите приём, который подходит к виду выражений и условиям задачи. Затем проверьте, что каждый переход действительно разрешён: особенно внимательно отнеситесь к умножению на выражение и возведению в квадрат. Если знак множителя или частей неизвестен, установите его до преобразования.

Разбор задач

Задача 1. Докажите, что x² + 1 > 2x для любого действительного x.

1. Вычтем правую часть из левой, чтобы свести доказательство к знаку разности. Получим x² + 1 − 2x. Нужно установить, что это выражение положительно.
2. Сгруппируем слагаемые и представим разность как квадрат: x² − 2x + 1 = (x − 1)². Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому пока получено только (x − 1)² ≥ 0.
3. При x = 1 квадрат равен нулю, а исходное неравенство становится равенством. Значит, утверждение со строгим знаком для любого действительного x неверно; верно x² + 1 ≥ 2x.

Ответ: исходное утверждение неверно при x = 1; доказано нестрогое неравенство x² + 1 ≥ 2x.

Задача 2. Докажите, что при a > b и c > d выполняется a + c > b + d.

1. Перенесём задачу к разности левой и правой частей: (a + c) − (b + d). Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые: (a − b) + (c − d).
2. Из условия a > b следует a − b > 0. Из условия c > d следует c − d > 0.
3. Сумма двух положительных чисел положительна. Значит, разность (a + c) − (b + d) положительна, а это и означает, что a + c > b + d.

Ответ: a + c > b + d.

Задача 3. Докажите, что при x > 0 выполняется x + 1/x ≥ 2.

1. По условию x положительно, поэтому на x можно умножать, не меняя знак неравенства. Рассмотрим разность между левой и правой частями: x + 1/x − 2.
2. Приведём выражение к общей дроби: (x² − 2x + 1)/x. Числитель раскладывается в квадрат, поэтому получаем (x − 1)²/x.
3. Числитель неотрицателен, поскольку это квадрат, а знаменатель положителен по условию. Значит, дробь неотрицательна и исходная левая часть не меньше двух.

Ответ: при x > 0 выполняется x + 1/x ≥ 2; равенство достигается при x = 1.

Типичные ошибки

При умножении неравенства на отрицательное число иногда оставляют прежний знак. Так ошибаются, перенося правило для положительного множителя на все случаи; например, из 2 > 1 после умножения на −1 получается −2 < −1. Проверьте знак множителя и разверните знак неравенства, если множитель отрицателен.

Возведение обеих частей в квадрат без проверки их знаков может изменить порядок сравнения. Ошибка возникает из-за того, что квадраты кажутся просто «тем же сравнением в квадрате», однако −3 < −2, а их квадраты сравниваются наоборот. Перед таким шагом установите, что обе части неотрицательны, либо выберите другой способ доказательства.

Проверка нескольких числовых значений не доказывает утверждение для всех значений переменной. Она может показать, что утверждение неверно, если найден контрпример, но удачные примеры не исключают ошибку при другом значении. Проверьте себя вопросом: охватывает ли рассуждение все значения из условия? Для доказательства нужен общий аргумент, например преобразование разности.

Иногда из исходного утверждения получают следствие, а затем считают, что оно равносильно ему. Такое рассуждение неверно, потому что обратный переход может не работать: истинность следствия сама по себе не всегда доказывает исходное утверждение. Отмечайте каждый шаг и проверяйте, можно ли его обратить; если нет, объясните, почему полученного условия достаточно для нужного вывода.

Связь с другими темами

Для доказательства нужны свойства числовых неравенств, правила действий с положительными и отрицательными числами и умение преобразовывать алгебраические выражения. Эти знания помогают правильно менять знак при умножении, упрощать разность и замечать случаи, требующие проверки условий. Доказанные неравенства используют при решении неравенств, оценке выражений и обосновании свойств функций. Поэтому умение доказывать полезно не только для отдельных задач, но и для проверки общих выводов.

Что запомнить

• Чтобы доказать a > b, достаточно показать, что a − b > 0.
• Прибавление одного и того же числа к обеим частям сохраняет знак неравенства.
• При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется.
• Почленно складывать можно неравенства одного направления.
• Перед возведением обеих частей в квадрат проверьте их знаки.
• Числовые примеры не заменяют общего доказательства.