"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Степень с целым показателем позволяет записывать произведения одинаковых множителей, обратные числа и единицу в одной форме. При положительном показателе основание умножают само на себя, при нулевом получают 1, а при отрицательном берут обратную величину соответствующей положительной степени. Эти определения помогают сохранить привычные правила умножения, деления и возведения степени в степень. Главное ограничение: при нулевом или отрицательном показателе основание не может быть нулём.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степень с целым показателем — выражение вида aⁿ, где a — основание, а n — целое число. Если n > 0, это обычная степень: aⁿ означает произведение n одинаковых множителей a. Если n = 0, то a⁰ = 1 при a ≠ 0, а если n < 0, то aⁿ = 1/a⁻ⁿ при a ≠ 0. Такое определение объединяет положительные, нулевой и отрицательные показатели в одном наборе правил.
Нулевая степень ненулевого числа равна единице: a⁰ = 1 при a ≠ 0. Например, 7⁰ = 1, а не 0. Это правило нужно, чтобы свойства степеней работали и тогда, когда при вычислениях показатель становится нулём. Основание 0 исключено, потому что запись 0⁰ не определяют в рамках этих правил.
Отрицательную степень определяют как обратную величину положительной степени: a⁻ⁿ = 1/aⁿ при a ≠ 0 и натуральном n. Например, 3⁻² = 1/3² = 1/9. Запись с отрицательным показателем удобна для краткого обозначения дробей и помогает применять общие правила степеней. Основание не должно быть нулём, иначе знаменатель окажется равен нулю.
Запись a⁻ⁿ означает число, обратное aⁿ: при умножении этих чисел получается 1. Минус стоит именно у показателя и не означает, что всё значение степени нужно сделать отрицательным. Например, 2⁻³ = 1/8, тогда как −2³ = −8. Различать эти записи важно при вычислении и преобразовании выражений.
Для натурального показателя уже известно правило деления степеней с одинаковым основанием: aⁿ : aⁿ = aⁿ⁻ⁿ. При a ≠ 0 левая часть равна 1, потому что любое ненулевое число при делении на себя даёт единицу. Показатели справа вычитаются, и получается a⁰. Значит, чтобы правило деления сохранялось, нулевую степень ненулевого основания нужно считать равной 1.
Рассмотрим деление степеней, в котором показатель делимого меньше показателя делителя: aᵐ : aⁿ, где m < n. По правилу вычитания показателей это aᵐ⁻ⁿ, то есть степень с отрицательным показателем. Но если разделить числитель и знаменатель дроби aᵐ/aⁿ на aᵐ, получится 1/aⁿ⁻ᵐ. Поэтому степень aᵐ⁻ⁿ должна означать обратную величину 1/aⁿ⁻ᵐ, что и приводит к определению отрицательного показателя.
При нулевом показателе основание не может быть нулём: правило aⁿ : aⁿ требует делить на ненулевое число. Для отрицательного показателя запрет виден из формулы a⁻ⁿ = 1/aⁿ: при a = 0 знаменатель равен нулю. Деление на ноль не определено, поэтому выражения 0⁰ и 0⁻ⁿ в этой теме не имеют значения. Проверяй основание до применения формул.
Правило умножения сохраняется, потому что смысл степеней и при целых показателях согласован с делением: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Например, если один показатель отрицательный, можно заменить такую степень дробью и затем сократить или перемножить множители. При делении действует aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, если делитель не равен нулю. Важно вычитать показатель делителя из показателя делимого, а не наоборот.
Правила для произведения и частного следуют из того, что каждый множитель можно возвести в нужную степень: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ и (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ при b ≠ 0. Если показатель отрицательный, дополнительно требуется, чтобы основания степеней не были нулевыми. При возведении степени в степень показатели перемножаются: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Это связано с тем, что повторное умножение одинаковых степеней приводит к умножению числа групп множителей.
| Случай или действие | Правило | Ограничения |
|---|---|---|
| Натуральный показатель | aⁿ — произведение n одинаковых множителей a | n > 0 |
| Нулевой показатель | a⁰ = 1 | a ≠ 0 |
| Отрицательный показатель | a⁻ⁿ = 1/aⁿ | a ≠ 0, n > 0 |
| Произведение степеней с одинаковым основанием | aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | Допустимые целые показатели; если есть неположительные показатели, a ≠ 0 |
| Частное степеней с одинаковым основанием | aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | Делитель не равен нулю; при неположительных показателях a ≠ 0 |
| Степень степени | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | Допустимые показатели; при отрицательных показателях a ≠ 0 |
| Степень произведения и частного | (ab)ⁿ = aⁿbⁿ; (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ | Для частного b ≠ 0; при отрицательном n также a ≠ 0 |
Сначала найди в таблице действие, которое выполняется в выражении, и выбери соответствующее правило. Затем проверь ограничения: особенно важно не делить на ноль и не возводить ноль в неположительную степень. Если после преобразования получился отрицательный показатель, его можно заменить обратной величиной.
Задача 1. Вычислите 5⁰ и 2⁻³. Здесь встречаются два разных случая: нулевой и отрицательный показатели. Поэтому сначала применим определения, а затем выполним обычные вычисления. Основания ненулевые, значит обе степени определены.
Для первой степени используем правило a⁰ = 1 при a ≠ 0. Получаем 5⁰ = 1.
Во второй степени отрицательный показатель заменяем обратной величиной: 2⁻³ = 1/2³. Сначала вычисляем 2³ = 8, поэтому 2⁻³ = 1/8.
Ответ: 5⁰ = 1; 2⁻³ = 1/8.
Задача 2. Упростите выражение x⁻⁴ · x⁷ / x² при x ≠ 0. Все степени имеют одинаковое основание, поэтому удобно объединить их, последовательно выполняя умножение и деление. Условие x ≠ 0 позволяет использовать отрицательный показатель и делить на x². В конце проверим, не остался ли отрицательный показатель.
При умножении степеней с основанием x складываем показатели: x⁻⁴ · x⁷ = x⁻⁴⁺⁷ = x³.
Теперь делим x³ на x² и вычитаем показатель делителя: x³ / x² = x³⁻² = x¹. Степень с показателем 1 равна самому основанию.
Ответ: x.
Задача 3. Упростите (2a⁻²b³)² / (4a⁻¹b), представьте ответ без отрицательных показателей и укажите ограничения. Сначала раскроем квадрат произведения, затем разделим степени одинаковых оснований. Из-за отрицательных показателей основания a и b должны быть ненулевыми. Также знаменатель исходной дроби не должен обращаться в ноль.
Возводим каждый множитель в квадрат: (2a⁻²b³)² = 2² · (a⁻²)² · (b³)² = 4a⁻⁴b⁶.
Подставляем результат и сокращаем числовые множители: (4a⁻⁴b⁶)/(4a⁻¹b) = a⁻⁴⁻⁽⁻¹⁾b⁶⁻¹. При делении показатели вычитаются, поэтому показатель a равен −3, а показатель b равен 5.
Получаем a⁻³b⁵. Переносим множитель с отрицательным показателем в знаменатель: a⁻³b⁵ = b⁵/a³. Исходные выражения определены при a ≠ 0 и b ≠ 0.
Ответ: b⁵/a³, где a ≠ 0 и b ≠ 0.
Ошибка: считать, что a⁰ = 0. Так могут рассуждать, связывая ноль в показателе с нулевым результатом, но здесь это не так: при a ≠ 0 частное aⁿ/aⁿ равно 1, а по правилу степеней — a⁰. Чтобы проверить себя, подставь любое ненулевое число: например, 4⁰ = 4²/4² = 1.
Ошибка: понимать a⁻ⁿ как −aⁿ. Знак минус в показателе легко спутать с минусом перед числом, но он указывает на обратную величину: a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Проверь запись на примере 2⁻²: получится 1/4, а не −4. Скобки и положение минуса помогают увидеть, к чему он относится.
Ошибка: подставлять ноль в основание степени с нулевым или отрицательным показателем. Причина в том, что забывают проверить условия применения определения: для отрицательного показателя возникает дробь с основанием в знаменателе. Проверка проста: замени отрицательную степень дробью и убедись, что знаменатель не равен нулю. Поэтому для таких показателей требуется a ≠ 0.
Ошибка: при делении степеней складывать показатели или вычитать их в обратном порядке. Это случается, если перепутать правило деления с правилом умножения. Для aᵐ : aⁿ нужно вычислять m − n: показатель делимого минус показатель делителя. Проверить порядок можно на примере a⁵/a² = a³, поскольку после сокращения остаются три множителя a.
Для работы с целыми показателями нужно знать, что такое степень с натуральным показателем, и уметь умножать и делить такие степени. Эти основы объясняют, почему при умножении показатели складываются, а при делении вычитаются. Новые определения расширяют знакомые правила на нулевой и отрицательный показатели. Такая запись помогает преобразовывать алгебраические выражения, работать с одночленами и многочленами и записывать числа в стандартном виде.
a⁰ = 1 при a ≠ 0.
a⁻ⁿ = 1/aⁿ при a ≠ 0 и n > 0.
Отрицательный показатель указывает на обратную величину, а не на отрицательное значение степени.
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают.
При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитают.
При возведении степени в степень показатели перемножают.
Для неположительного показателя основание степени не может быть нулём.
Почему любое ненулевое число в нулевой степени равно единице?
При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитают: aⁿ : aⁿ = aⁿ⁻ⁿ = a⁰. С другой стороны, любое ненулевое число, делённое само на себя, равно 1, поэтому a⁰ = 1.
Что означает минус в показателе степени?
Он означает, что нужно взять обратную величину положительной степени: a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Например, 2⁻³ = 1/2³ = 1/8; это не то же самое, что −2³.
Можно ли возвести ноль в нулевую или отрицательную степень?
Нет. Для нулевого показателя определение опирается на деление на основание, а для отрицательного требуется обратная величина. В обоих случаях основание 0 привело бы к делению на ноль, которое не определено.
Как упростить произведение и частное степеней с разными целыми показателями?
Если основания одинаковые, при умножении показатели складывают, а при делении из показателя делимого вычитают показатель делителя. Затем вычисляют полученный показатель и, если он отрицательный, записывают обратную величину.
Как избавиться от отрицательных показателей в ответе?
Перенеси множитель с отрицательным показателем через дробную черту и измени знак показателя: a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Например, x⁻³ можно записать как 1/x³, если x ≠ 0.
§ 12. Степень с целым показателем и её свойства
