37. Определение степени с целым отрицательным показателем

Определения и обозначения

Для ненулевого числа a и натурального числа n степенью a⁻ⁿ называют число 1/aⁿ. Например, 2⁻³ = 1/2³ = 1/8. Это определение позволяет записывать обратные числа компактно и применять к ним правила действий со степенями.

Отрицательный показатель степени — это показатель вида −n, где n — натуральное число. Он указывает, что основание сначала возводят в положительную степень, а затем берут обратное число к результату. Такая запись помогает не путать показатель со знаком самого значения.

Обратное число для ненулевого числа a — это число 1/a, произведение которого на a равно 1. Например, обратное числу 5 — число 1/5, потому что 5 · 1/5 = 1. Понятие обратного числа нужно, чтобы понимать, какое значение скрывается за отрицательным показателем.

Как это устроено

Определение a⁻ⁿ = 1/aⁿ выбирают так, чтобы не нарушалось правило деления степеней с одинаковыми основаниями: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Например, если m = 0, то a⁰ : a² = a⁻². Для ненулевого a значение a⁰ равно 1, поэтому частное равно 1/a². Значит, чтобы правило действовало и при отрицательной разности показателей, нужно считать a⁻² равным 1/a².

Посмотрим на степени числа 2: 2² = 4, 2¹ = 2, 2⁰ = 1. При каждом уменьшении показателя на единицу значение делится на основание: 4 : 2 = 2, затем 2 : 2 = 1. Продолжим закономерность: 2⁻¹ = 1 : 2 = 1/2, а 2⁻² = 1/2 : 2 = 1/4. Поэтому отрицательные показатели естественно связаны с обратными числами.

Основание при отрицательном показателе должно быть ненулевым. В определении появляется дробь 1/aⁿ, а если a = 0, её знаменатель равен нулю. Деление на ноль не имеет смысла, поэтому запись 0⁻ⁿ не задаёт число. Это ограничение нужно проверять, прежде чем преобразовывать выражение.

Минус в показателе не означает, что результат обязательно отрицательный. Например, 2⁻² = 1/4, а (−2)⁻² = 1/4, тогда как (−2)⁻³ = −1/8: при чётной степени минус основания исчезает, при нечётной сохраняется. Отрицательный показатель только указывает на переход к обратному числу, а знак определяется основанием и чётностью положительной степени.

Показатель относится ко всему основанию, которое может быть и выражением в скобках. Например, (2a)⁻² = 1/(2a)², а не 1/(2a) · 2. Если основание записано дробью, например (a/b)⁻¹, то обратным числом будет b/a при ненулевых a и b. Так удобнее видеть, что отрицательная степень обращает всё основание целиком.

Степени ненулевого числа с разными показателями

В таблице удобно находить значение записи по виду показателя: натуральный означает произведение, нулевой — единицу, отрицательный — обратную положительную степень. Сначала проверьте условие в последнем столбце, а затем используйте равное выражение. Для отрицательного показателя обязательно убедитесь, что основание не равно нулю.

Разбор задач

Задача 1. Представьте 5⁻² в виде дроби и вычислите значение. Нужно заменить отрицательный показатель обратной положительной степенью, а затем возвести число в квадрат. Поскольку основание положительное, знак результата тоже будет положительным.

1. Записываем по определению: 5⁻² = 1/5².
2. Вычисляем квадрат: 5² = 25.
3. Получаем 5⁻² = 1/25.

Ответ: 1/25.

Задача 2. Вычислите (−3)⁻³ и сравните с −3⁻³. В первой записи основание целиком заключено в скобки, а во второй минус стоит перед степенью числа 3. Поэтому сначала отдельно определяем основание каждой степени, чтобы не потерять знак.

1. (−3)⁻³ = 1/(−3)³ = 1/(−27) = −1/27.
2. В записи −3⁻³ основание степени — 3, поэтому −3⁻³ = −(1/3³) = −1/27.
3. Значения совпали: в первом случае нечётная степень даёт отрицательное число, а во втором минус стоит перед положительной степенью.

Ответ: (−3)⁻³ = −1/27 и −3⁻³ = −1/27.

Задача 3. Упростите (2a)⁻² · a³ при a ≠ 0 и найдите значение при a = 2. Сначала заменим отрицательную степень дробью, чтобы ясно увидеть, какие основания и множители можно сократить. Затем подставим значение переменной в упрощённое выражение.

1. (2a)⁻² · a³ = a³/(2a)², поскольку степень −2 обращает квадрат основания 2a.
2. Раскрываем квадрат произведения: (2a)² = 4a², поэтому получаем a³/(4a²).
3. Сокращаем a³/a² = a и получаем a/4.
4. При a = 2 имеем 2/4 = 1/2.

Ответ: a/4; при a = 2 значение равно 1/2.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что a⁻ⁿ = −aⁿ. Её допускают, потому что видят знак минус и связывают его со знаком результата. На деле a⁻ⁿ = 1/aⁿ; проверьте себя на примере 2⁻² = 1/4, а не −4.

Ошибка: применять определение при a = 0. Так можно получить выражение с делением на ноль, которое не имеет значения. Перед вычислением проверьте условие a ≠ 0; например, 0⁻² не определено.

Ошибка: терять скобки в выражении (−a)⁻ⁿ и считать основанием только a. В скобках основание — всё число −a, а чётность n влияет на знак результата. Чтобы проверить решение, перепишите степень как 1/(−a)ⁿ и только потом определяйте знак.

Ошибка: переворачивать основание, но забывать показатель, получая 1/a · n. Это происходит, когда запись читают как несколько отдельных множителей. Верная формула — a⁻ⁿ = 1/aⁿ: сначала возведите a в степень n, затем возьмите обратное число.

Связь с другими темами

Для работы с отрицательными показателями нужно знать натуральные степени, нулевую степень ненулевого числа и правила умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями. Понятие обратного числа и свойства дробей помогают переводить такие степени в удобную запись и выполнять вычисления. Позже отрицательные показатели пригодятся при упрощении алгебраических выражений, преобразовании формул и записи чисел в стандартном виде.

Что запомнить

• Для a ≠ 0 и натурального n: a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
• Отрицательный показатель задаёт обратную положительной степени.
• Основание степени с отрицательным показателем не может быть нулём.
• Отрицательный показатель сам по себе не делает значение отрицательным.
• Скобки помогают определить, какое выражение является основанием.
• Правила действий со степенями сохраняются при целых показателях, если основания ненулевые.