38. Свойства степени с целым показателем

Определения и обозначения

Степенью числа a с натуральным показателем n называют произведение n одинаковых множителей a: aⁿ = a · a · … · a. Число a — основание степени, а n — показатель; например, в 3⁴ основание равно 3, показатель — 4. Такая запись сокращает повторяющееся умножение и помогает находить закономерности в вычислениях.

Степень с целым показателем включает степени с положительным показателем, нулевую степень и степень с отрицательным показателем. Для любого ненулевого a принимают a⁰ = 1, а a⁻ⁿ = 1/aⁿ, где n — натуральное число. Эти определения позволяют применять правила степеней не только к произведениям, но и к дробям.

Основание степени не может быть равным нулю, если показатель нулевой или отрицательный: выражения 0⁰ и 0⁻² в школьной алгебре не определены. Например, 0⁻² потребовало бы деления на 0. Условия на основание нужно проверять до вычислений, иначе можно применить формулу к выражению, которое не имеет смысла.

Как это устроено

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Если показатели положительные, это видно из записи произведений: в первой степени стоит m множителей a, во второй — n, значит, всего их m + n. Для нулевых и отрицательных показателей правило сохраняется благодаря определениям a⁰ = 1 и a⁻ⁿ = 1/aⁿ, если a ≠ 0.

При делении степеней с одинаковым ненулевым основанием показатели вычитают: aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Когда m и n положительные и m больше n, одинаковые множители в числителе и знаменателе сокращаются, и остаётся m − n множителей. Если m меньше n, в знаменателе остаётся больше множителей, поэтому результат можно записать отрицательной степенью. Основание должно быть ненулевым, потому что на ноль делить нельзя.

При возведении степени в степень показатели перемножают: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Возведение степени в степень означает, что выражение aᵐ берут множителем n раз; в каждом таком множителе содержится m множителей a. Всего получается m · n множителей, поэтому новый показатель равен произведению показателей.

Степень произведения равна произведению степеней множителей: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. При положительном n это следует из того, что в произведении из n пар ab можно сгруппировать отдельно все множители a и все множители b. Аналогично, если b ≠ 0, степень частного равна частному степеней: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. Такие правила позволяют раскрывать степень скобки, но не разрешают распределять показатель по слагаемым: (a + b)ⁿ обычно не равно aⁿ + bⁿ.

Отрицательный показатель связан с делением степеней и обратным числом. Например, a⁻³ = a⁰/a³ = 1/a³ при a ≠ 0, потому что при делении степеней показатели вычитаются: 0 − 3 = −3. Поэтому знак минус в показателе не делает значение отрицательным: знак результата зависит от основания и чётности показателя после преобразования.

Основные свойства степени

Сначала найди в выражении действие: умножение, деление или возведение в степень, а затем выбери соответствующую строку таблицы. Сверь основания и проверь условия, особенно если есть знаменатель или отрицательный показатель. Если основание выражено буквами, условие ненулевого знаменателя нужно сохранить в ответе.

Разбор задач

Упростим выражение (x⁻² · x⁵)/x при x ≠ 0. Здесь основание во всех степенях одинаковое, поэтому можно объединить показатели, не переходя сразу к большим дробям. Условие x ≠ 0 необходимо из-за отрицательной степени и деления на x. Проверим результат также, раскрыв отрицательную степень по определению.

1. В числителе умножаются степени с основанием x, поэтому складываем показатели: x⁻² · x⁵ = x⁻²⁺⁵ = x³.
2. Делим x³ на x¹. Для частного степеней показатели вычитаем: x³/x¹ = x³⁻¹ = x².
3. Проверяем по определению: x⁻² · x⁵ = x⁵/x² = x³, затем x³/x = x². Полученное упрощение согласуется с исходной записью.

Ответ: x², при x ≠ 0. Ещё один пример показывает, зачем следить за скобками: упростим (−2)⁻³ · (−2)⁵. Поскольку основание одинаковое и ненулевое, сначала можно сложить показатели, а потом вычислить степень. Скобки здесь означают, что основание — всё число −2.

1. Складываем показатели при умножении степеней с одинаковым основанием: (−2)⁻³ · (−2)⁵ = (−2)⁻³⁺⁵ = (−2)².
2. Вычисляем квадрат: (−2)² = (−2) · (−2) = 4. Положительный результат получился потому, что отрицательное число перемножено само на себя чётное число раз.
3. Можно проверить вычислением отрицательной степени: (−2)⁻³ = 1/(−2)³ = −1/8, а (−2)⁵ = −32. Их произведение равно 4.

Ответ: 4. В первом примере буква x могла обозначать любое ненулевое число, поэтому результат оставили в буквенном виде. Во втором примере числовое основание позволило вычислить итог до конца. В обоих случаях сначала выбрали свойство по действию и только затем выполнили вычисления.

Типичные ошибки

• Путают сложение показателей с умножением. В выражении aᵐ · aⁿ нужно сложить показатели, а не перемножить их: правило получается из подсчёта всех одинаковых множителей. Ошибку допускают, потому что видят несколько чисел в записи степени и переносят на них привычное действие. Проверь себя на a² · a³: в произведении ровно пять множителей a, значит, ответ a⁵.
• Забывают поменять степень на обратную дробь. Запись a⁻ⁿ означает 1/aⁿ, а не −aⁿ. Минус относится к показателю, поэтому само значение может быть как положительным, так и отрицательным. Для проверки преобразуй отрицательную степень по определению и посчитай знак получившейся дроби.
• Считают, что a⁰ = 0, или применяют правило при a = 0. Для ненулевого основания a⁰ = 1: это согласуется с делением aⁿ/aⁿ = a⁰ = 1. Ошибка возникает из-за смешения показателя 0 со значением основания. Проверяй, что основание ненулевое; выражение 0⁰ в рамках этих правил не определено.
• Не учитывают скобки и распределяют степень на сумму. Основания (−2) и −2ⁿ записаны по-разному, а (a + b)ⁿ нельзя без основания заменить на aⁿ + bⁿ. Такие ошибки появляются, когда знак или скобки не читают как часть записи. Подставь простые числа: (1 + 1)² = 4, тогда как 1² + 1² = 2, и равенство не выполняется.

Связь с другими темами

Свойства степени продолжают изучение умножения и деления натуральных чисел: показатель показывает, сколько одинаковых множителей соединено в произведении. Отрицательная степень связывает степени с обыкновенными дробями, поскольку a⁻ⁿ = 1/aⁿ. На правилах степеней строится преобразование алгебраических выражений с буквами, в том числе сокращение дробей и приведение подобных степеней. Позже эти знания пригодятся при записи чисел в стандартном виде и изучении функций.

Что запомнить

• Для a ≠ 0: a⁰ = 1, а a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают; при делении — вычитают.
• При возведении степени в степень показатели перемножают.
• Степень произведения и частного можно распределить на множители, учитывая условия на знаменатель.
• Перед преобразованием проверь основание, скобки и возможность деления на ноль.