§ 11. Системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной

Определения и обозначения

Линейное неравенство с одной переменной — неравенство, которое после преобразований можно записать как ax > b, ax < b, ax ≥ b или ax ≤ b. Здесь x — переменная, а и b — числа: а называют коэффициентом при переменной, b — свободным членом. Такая запись помогает свести разные примеры к знакомым простым неравенствам.

Решение системы неравенств — значение переменной, при котором все неравенства системы верны одновременно. Оно должно пройти каждую проверку, поэтому недостаточно удовлетворить только одному условию. Определение помогает понять, почему при решении системы ищут значения, общие для всех неравенств.

Система неравенств — несколько неравенств, решения которых нужно найти одновременно. Обычно их записывают одно под другим и объединяют фигурной скобкой. Скобка напоминает, что условия действуют вместе и ни одно из них нельзя отбросить.

Совокупность неравенств — несколько неравенств, для которых достаточно выполнения хотя бы одного. Её обычно обозначают квадратной скобкой. Такое обозначение показывает, что значение может подойти по любому из условий, поэтому решения не требуется делать общими для всех неравенств.

Как это устроено

Систему удобнее решать по отдельности, потому что каждое неравенство задаёт своё условие для переменной. Сначала преобразуют первое неравенство, затем второе и так далее, получая отдельные множества решений. Так проще не смешать вычисления и увидеть, какой промежуток задаёт каждое условие. После этого можно сравнить уже готовые ответы.

Решение системы — пересечение множеств решений, то есть их общая часть. Это следует из смысла системы: значение подходит только тогда, когда одновременно удовлетворяет каждому неравенству. Например, число, попавшее в решение первого условия, но нарушающее второе, не может быть ответом. Поэтому нельзя оставлять все отдельные промежутки целиком.

Чтобы найти пересечение на координатной прямой, изображают решения каждого неравенства и оставляют только участок, который принадлежит им всем. Затем этот участок записывают числовым промежутком. Круглая скобка у конца означает, что граничное число не входит, а квадратная — что входит. Если общих точек нет, система решений не имеет.

Для совокупности берут объединение множеств решений, потому что достаточно выполнения хотя бы одного условия. Значит, подходят все числа, принадлежащие хотя бы одному из найденных промежутков. Объединение включает каждый участок каждого решения, а не только их общую часть. Именно поэтому совокупность может иметь больше решений, чем любое из отдельных неравенств.

На координатной прямой объединение получают, отмечая все участки, которые закрашены хотя бы в одном из решений. Если участки пересекаются или соединяются общей включённой точкой, их часто можно записать одним промежутком. Если между ними остаётся разрыв, указывают два или несколько промежутков. В конце полезно проверить, что ни одна область, подходящая хотя бы одному условию, не пропущена.

Система и совокупность линейных неравенств

Сначала посмотрите на скобку и прочитайте запись словами: «и» означает систему, «или» — совокупность. Затем решите каждое неравенство отдельно и выполните указанное в таблице действие с множествами решений. Это помогает выбрать между общей частью промежутков и всеми подходящими участками.

Разбор задач

Задача 1. Решите систему: x − 2 > 0, x ≤ 5.

1. Решим первое неравенство: прибавим 2 к обеим частям и получим x > 2. Значит, подходят числа больше 2, а само число 2 не входит в решение.
2. Второе неравенство уже задаёт условие x ≤ 5. Для системы нужно выполнить оба условия, поэтому ищем числа, которые больше 2 и одновременно не больше 5.
3. Общая часть — промежуток от 2 до 5. Число 2 исключается из-за строгого знака, а 5 включается из-за знака ≤.

Ответ: 2 < x ≤ 5, или (2; 5].

Задача 2. Решите систему: 3x + 2 ≥ −1, x − 4 < 2.

1. В первом неравенстве вычтем 2: 3x ≥ −3. Разделим обе части на 3, знак не изменится, получим x ≥ −1.
2. Во втором неравенстве прибавим 4 к обеим частям: x < 6. Значит, два условия системы требуют одновременно x ≥ −1 и x < 6.
3. Оставим общую часть промежутков: от −1 до 6. Граница −1 включена, а 6 не включена, поэтому ответ записывается с квадратной и круглой скобками соответственно.

Ответ: −1 ≤ x < 6, или [−1; 6).

Задача 3. Решите совокупность: x/2 − 1 < 0, 3x + 1 ≥ 10.

1. В первом неравенстве прибавим 1: x/2 < 1. Умножим обе части на 2 и получим x < 2; подходит любой меньший x.
2. Во втором вычтем 1: 3x ≥ 9. Разделим на положительное число 3: x ≥ 3. Поскольку это совокупность, значение может удовлетворять любому из двух условий.
3. Первое решение — все числа меньше 2, второе — числа от 3 включительно. Между этими частями есть промежуток от 2 до 3, который не подходит ни под одно условие, поэтому обе части остаются отдельными.

Ответ: x < 2 или x ≥ 3, то есть (−∞; 2) ∪ [3; +∞).

Типичные ошибки

Для системы иногда объединяют решения вместо того, чтобы найти их пересечение. Так происходит, когда забывают, что должны выполняться все условия, и принимают достаточно одного подходящего неравенства. Проверьте ответ подстановкой: каждое число из решения обязано удовлетворять каждому неравенству системы. Если хотя бы одно условие нарушено, объединение выбрано неверно.

Для совокупности могут искать только общую часть промежутков. Это ошибка из-за путаницы между словами «хотя бы одно» и «все»: пересечение оставляет только те числа, которые подходят каждому условию. Чтобы проверить себя, возьмите число из решения одного неравенства и проверьте, должно ли оно входить в ответ. Для совокупности оно подходит, даже если не удовлетворяет другому неравенству.

Граничную точку иногда включают при строгом знаке или исключают при нестрогом. Причина часто в том, что при изображении промежутка забывают смысл знака: > и < не разрешают равенство, а ≥ и ≤ разрешают. Подставьте граничное значение в неравенство и проверьте, получается ли верное утверждение. На прямой открытую границу отмечают пустым кружком, включённую — закрашенным.

При делении на отрицательное число можно оставить знак неравенства прежним. Это происходит из-за привычки выполнять с обеими частями одинаковое действие, но умножение или деление на отрицательное число меняет порядок чисел. Например, из −2x > 6 следует x < −3, а не x > −3. Проверяйте знак делителя перед делением и меняйте знак неравенства на противоположный.

Связь с другими темами

До изучения систем и совокупностей нужно уметь решать линейные неравенства и изображать их решения на координатной прямой. Эти навыки дают отдельные промежутки, из которых затем составляют общий ответ. Без правильного решения каждого неравенства итог тоже будет неверным.

Тема опирается на числовые промежутки и операции над множествами. Пересечение означает общую часть множеств, а объединение — все элементы, принадлежащие хотя бы одному из них. Координатная прямая помогает увидеть эти операции и верно учесть граничные числа.

Системы и совокупности применяют в задачах, где на одну переменную наложено несколько ограничений. Например, система описывает ситуацию, в которой должны одновременно выполняться все требования, а совокупность — когда достаточно одного из возможных условий. Поэтому выбор между скобками зависит от смысла задачи.

Что запомнить

• Решение системы удовлетворяет каждому неравенству.
• Решение системы — пересечение решений отдельных неравенств.
• Решение совокупности удовлетворяет хотя бы одному неравенству.
• Решение совокупности — объединение решений отдельных неравенств.
• Строгий знак не включает граничное значение.
• При делении на отрицательное число знак неравенства меняют на противоположный.