"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Неравенство с одной переменной сравнивает выражения, в которых есть неизвестное число. Его решением обычно оказывается не одно значение, а целый набор чисел. Чтобы коротко записать этот набор, используют числовые промежутки и изображают их на координатной прямой. Главное — правильно определить, входят ли граничные числа в ответ: от этого зависит выбор скобок и вид точки на прямой.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Неравенство с одной переменной — сравнение двух выражений, содержащих одну переменную, с помощью знаков >, <, ≥ или ≤. Например, 2x + 1 > 5 — такое неравенство, потому что его истинность зависит от значения x. Это понятие позволяет описывать условия, которым должны удовлетворять числа.
Решение неравенства — значение переменной, при подстановке которого неравенство становится верным. Так, число 4 является решением неравенства x > 2, а число 1 — нет. Проверка подстановкой помогает убедиться, что выбранное значение подходит.
Множество решений неравенства — все значения переменной, являющиеся его решениями. Для x > 2 это все числа больше двух, а не только какое-то одно число. Такое множество и нужно находить при решении неравенства.
Числовой промежуток — множество чисел, расположенных между двумя границами или по одну сторону от границы. Например, промежуток (1; 6] содержит числа больше 1 и не больше 6. Запись промежутками позволяет компактно представить множество решений.
Решением часто оказывается не одно число, потому что знак неравенства задаёт условие, которому могут удовлетворять сразу многие значения. Если x > 2, то подходят и 3, и 10, и 2,5; между подходящими числами обычно есть другие подходящие числа. Поэтому ответом служит целое множество, а не отдельное значение.
На координатной прямой множество решений показывают точкой на границе и штриховкой той части прямой, где находятся подходящие числа. Для x > 2 штрихуют вправо, потому что числа справа от 2 больше неё; для x < 2 — влево. Направление выбирают по смыслу знака, а не по положению выражения в записи.
При строгом неравенстве граница не входит в ответ: x > 2 не допускает самого числа 2, поэтому на прямой ставят пустую точку. При нестрогом знаке x ≥ 2 число 2 подходит, и точку закрашивают. Скобки в записи промежутка передают то же различие: круглая — граница исключена, квадратная — включена.
Две границы записывают в порядке возрастания, разделяя точкой с запятой: (a; b), [a; b] или смешанной парой скобок. Если промежуток продолжается неограниченно, его записывают как луч, например (a; +∞) или (−∞; b]. Бесконечность не является числом и не может входить в промежуток, поэтому около неё всегда круглая скобка.
Чтобы перейти от записи промежутка к неравенству, прочитай границы слева направо и определи по скобкам, включены ли они. Например, [−3; 4) означает −3 ≤ x < 4. В обратную сторону действуй так же: найди границы множества решений и переведи знаки неравенства в нужные скобки.
Сопоставляй неравенство, скобки и изображение: все три способа описывают одно и то же множество чисел. В таблице a и b — границы, причём a < b. Сначала определи, какие числа подходят, затем выбери запись.
| Вид множества решений | Неравенство | Обозначение промежутка | Включение границ |
|---|---|---|---|
| Левый луч | x < a или x ≤ a | (−∞; a) или (−∞; a] | a не входит или входит |
| Правый луч | x > a или x ≥ a | (a; +∞) или [a; +∞) | a не входит или входит |
| Открытый промежуток | a < x < b | (a; b) | Обе границы не входят |
| Замкнутый промежуток | a ≤ x ≤ b | [a; b] | Обе границы входят |
| Полуинтервал с включённой левой границей | a ≤ x < b | [a; b) | a входит, b не входит |
| Полуинтервал с включённой правой границей | a < x ≤ b | (a; b] | a не входит, b входит |
Записать в виде числового промежутка множество решений неравенства −2 < x ≤ 5.
Записать в виде неравенства промежуток [−3; 4).
Решить неравенство 3x − 7 < 2x + 1 и представить ответ на координатной прямой и в виде промежутка.
Замена круглой скобки квадратной или наоборот меняет смысл ответа: ученик может случайно включить граничное число или исключить его. Обычно это происходит, когда скобку выбирают по памяти, не сверяя её со знаком неравенства. Проверь границу подстановкой: если она удовлетворяет условию, нужна квадратная скобка.
Неверное направление луча возникает из-за путаницы между знаками < и >. Для проверки возьми число, которое находится в заштрихованной области, и сравни его с границей. Если при x < 3 штриховка направлена вправо, такое число может оказаться больше 3 и не подойти.
Квадратная скобка у бесконечности ошибочна: бесконечность не является числом, которое можно включить в множество. Такая запись иногда появляется, когда ученик переносит правило о включённой границе на любой символ. Проверяй край промежутка: возле +∞ и −∞ всегда ставь круглую скобку.
Границы, записанные не по возрастанию, или пропущенная точка с запятой делают обозначение неясным. Это случается, если переписать числа из неравенства, не проверив, какое из них меньше. Перед записью расположи границы слева направо и проверь формат: например, [a; b), где a < b.
Для работы с неравенствами нужно уметь сравнивать действительные числа и отмечать их на координатной прямой. Также понадобятся преобразования выражений: перенос слагаемых и приведение подобных позволяют получить ответ в удобном виде. Следующий шаг — решение линейных неравенств и систем неравенств, где находят общие значения переменной.
Промежутки применяют и при изучении функций. С их помощью описывают область определения — допустимые значения аргумента — и множество значений функции. Поэтому умение читать скобки и границы помогает точно понимать, какие числа разрешены в условии.
Почему решение неравенства может содержать бесконечно много чисел?
Неравенство часто верно не только для одного числа, но и для всех чисел, расположенных по одну сторону от границы. Например, условие x > 2 выполняется для 3, 4, 10 и для бесконечного числа других значений. Поэтому ответом становится множество.
Как понять, какую скобку поставить у границы промежутка?
Если граничное число входит в решение, ставь квадратную скобку: ей соответствует знак ≤ или ≥. Если граница не входит, нужна круглая скобка, как при знаках < или >. На прямой включённую границу отмечают закрашенной точкой, а невключённую — пустой.
Почему рядом с бесконечностью нельзя ставить квадратную скобку?
Бесконечность не является числом, поэтому её нельзя включить в множество решений. Она только показывает, что промежуток не ограничен с этой стороны. По этой причине рядом с −∞ и +∞ всегда ставят круглую скобку.
Как по изображению на координатной прямой записать промежуток?
Сначала найди граничные числа, затем определи, закрашены точки или оставлены пустыми. Закрашенная точка даёт квадратную скобку, пустая — круглую. Направление луча подсказывает, где расположены остальные числа множества.
Чем отличается промежуток от луча?
Промежуток между двумя границами ограничен с обеих сторон. Луч имеет одну конечную границу и продолжается без конца влево или вправо. В записи луча рядом с бесконечностью ставят круглую скобку.
§ 10. Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки
