"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Числовые неравенства помогают сравнивать числа и находить границы значений выражений. При сложении неравенств складывают соответствующие левые и правые части, а при умножении учитывают знак множителя: положительный знак сохраняет, отрицательный меняет. Эти правила позволяют оценивать сумму, разность и произведение переменных, даже если известны только пределы их изменения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое неравенство — это сравнение чисел с помощью знаков <, >, ≤ или ≥. Запись a < b истинна, если число a действительно меньше числа b. Неравенства нужны, чтобы описывать порядок чисел и ограничения на значения переменных.
Сложение числовых неравенств — правило, по которому складывают почленно два неравенства одного направления. Из a < b и c < d получают a + c < b + d. Это позволяет объединять известные границы нескольких величин.
Умножение числового неравенства на число — преобразование обеих его частей одним и тем же множителем. При умножении на положительное число знак сохраняется, а при умножении на отрицательное меняется на противоположный. Такое правило помогает переносить границы переменной в выражения.
Оценка значения выражения — нахождение границ, между которыми находится результат при заданных границах переменных. Например, вместо точного значения x можно знать, что 2 < x < 5. Оценка позволяет установить диапазон результата и проверить, что вычисления не выходят за допустимые пределы.
При сложении неравенств одного направления складывают левые части между собой и правые части между собой, потому что каждое слагаемое сохраняет свой порядок. Если a < b и c < d, то к меньшему числу a прибавляется меньшее число c, а к большему b — большее d. Поэтому сумма слева остаётся меньше суммы справа: a + c < b + d.
При умножении обеих частей на положительное число расстояния от нуля увеличиваются в одном направлении. Поэтому из a < b при k > 0 следует ka < kb. Отрицательный множитель отражает числа относительно нуля, из-за чего их порядок переворачивается: при k < 0 получаем ka > kb.
Два неравенства можно перемножать почленно не всегда. Если a ≤ b и c ≤ d, а все четыре числа неотрицательны, то увеличение каждого множителя не уменьшает произведение, поэтому ac ≤ bd. При наличии отрицательных чисел произведения могут менять знак, так что простое перемножение соответствующих частей может дать неверный вывод.
Для суммы границы складывают одинаково: нижние с нижними, верхние с верхними. Для разности порядок второй пары меняется, потому что чем больше вычитаемое, тем меньше результат: из A ≤ x ≤ B и C ≤ y ≤ D следует A − D ≤ x − y ≤ B − C. При произведении сначала выясняют знаки переменных, затем выбирают произведения, дающие наименьшее и наибольшее значения.
Итог записывают как двойное неравенство, например 3 < E < 8. Проверка состоит в том, чтобы убедиться в правильности направления знаков и подставить допустимые значения переменных. Если каждый такой результат попадает между границами, оценка охватывает возможные значения выражения.
| Действие | Условие | Результат |
|---|---|---|
| Сложение двух неравенств одного направления | Оба неравенства направлены одинаково | Складывают соответствующие части, направление сохраняется |
| Умножение обеих частей на положительное число | Множитель больше нуля | Знак неравенства сохраняется |
| Умножение обеих частей на отрицательное число | Множитель меньше нуля | Знак неравенства меняется на противоположный |
| Перемножение двух неравенств при неотрицательных сравниваемых числах | Все числа неотрицательны | Перемножают соответствующие границы |
| Оценивание суммы или разности выражений | Известны нижние и верхние границы | Для суммы границы складывают, для разности учитывают обратный порядок |
Сначала определите действие и проверьте условие его применения. Затем выберите соответствующие границы и внимательно расставьте знаки. Для разности особенно важно поменять местами границы вычитаемого.
Известно, что 2 < x < 5 и 1 < y < 3. Требуется оценить сумму x + y. Обе пары неравенств имеют одинаковое направление, поэтому их можно сложить почленно.
Ответ: 3 < x + y < 8. Например, при x = 4 и y = 2 сумма равна 6 и действительно находится между 3 и 8.
Пусть 2 < x < 5 и 3 < y < 4. Нужно найти границы произведения xy. Все числа в обеих оценках положительны, поэтому соответствующие нижние и верхние границы можно перемножить.
Ответ: 6 < xy < 20. Умножать границы без проверки знаков было бы нельзя: при отрицательных значениях порядок произведений может измениться.
Дано −2 < x < 1. Требуется оценить выражение 3 − 2x. Переменная умножается на отрицательное число, поэтому сначала нужно изменить направление неравенств для её границ.
Ответ: 1 < 3 − 2x < 7. Проверка по значениям x, близким к −2 и 1, подтверждает найденные границы.
При сложении иногда складывают левую часть одного неравенства с правой частью другого. Так нарушается соответствие границ; складывайте только левую с левой, правую с правой.
При умножении на отрицательное число некоторые оставляют прежний знак. Ошибка возникает из-за того, что меняется не только величина, но и порядок чисел; после умножения проверьте знак на простом примере 2 < 5.
Перемножение неравенств без проверки знаков может дать неверную оценку. Отрицательные множители способны изменить знак произведения, поэтому сначала определите, где находятся ноль и границы переменных.
При оценке разности границы вычитаемого используют так же, как при сумме. Это неверно: нижняя граница результата получается из нижней границы уменьшаемого и верхней границы вычитаемого.
Для работы с неравенствами нужно уметь сравнивать положительные и отрицательные числа, преобразовывать выражения и выполнять действия с ними. Знание числовой прямой помогает понять, почему при умножении на отрицательное число направление меняется.
Оценивание используют при приближённых вычислениях, проверке диапазона значений выражений и решении задач с ограничениями на переменные. Эти приёмы также помогают быстро обнаружить ошибку в результате.
Можно ли складывать неравенства с разными знаками?
Почленно складывать можно неравенства одного направления: оба должны иметь знак < или ≤ либо оба знак > или ≥. Неравенства разных направлений сначала нужно преобразовать или использовать другие способы рассуждения.
Почему при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется?
Умножение на отрицательное число меняет порядок чисел на числовой прямой: положительное направление становится отрицательным. Например, из 2 < 5 после умножения на −1 получаем −2 > −5.
Можно ли перемножить любые два числовых неравенства?
Нет, нельзя без проверки знаков. Правило a < b и c < d ⇒ ac < bd надёжно работает, когда все сравниваемые числа неотрицательны; при отрицательных числах знак произведения может изменить результат.
Как найти границы разности двух выражений?
Из нижней границы уменьшаемого вычитают верхнюю границу вычитаемого, а из верхней границы уменьшаемого — нижнюю границу вычитаемого. Если A < x < B и C < y < D, то A − D < x − y < B − C.
Как проверить, что оценка выражения верна?
Проверьте направление всех преобразований и подставьте несколько допустимых значений переменных. Полученные значения должны лежать между найденными границами; особенно полезно проверить значения, близкие к границам.
§ 9. Сложение и умножение числовых неравенств. Оценивание значения выражения
