"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Числовое неравенство сравнивает два числа и показывает, какое из них больше или меньше. Такие записи помогают описывать порядок чисел, преобразовывать выражения и оценивать их значения. Главное — знать, как меняется знак при действиях с обеими частями: прибавление сохраняет его, умножение на положительное число тоже, а умножение на отрицательное меняет на противоположный. Эти правила пригодятся при решении неравенств и сравнении выражений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое неравенство — это сравнение двух чисел с помощью знаков <, >, ≤ или ≥. Запись 3 < 5 истинна, потому что число 3 меньше числа 5; запись 3 > 5 ложна. Такие сравнения помогают устанавливать порядок чисел и выражать условия вроде «температура не ниже нуля».
Строгое неравенство — неравенство со знаком < или >. Оно показывает, что одно число именно меньше или именно больше другого, поэтому равными числа быть не могут. Например, 4 < 7 — строгое неравенство, а запись 4 < 4 неверна.
Нестрогое неравенство — неравенство со знаком ≤ или ≥. Оно допускает, что сравниваемые числа равны: например, 5 ≤ 5 — верная запись. Нестрогие неравенства нужны, когда условие включает границу, например «не больше пяти».
Знаки неравенства читают так: < — «меньше», > — «больше», ≤ — «меньше или равно», ≥ — «больше или равно». Черта под знаком как раз означает, что равенство разрешено. Удобно следить, куда направлен острый угол знака: его раскрытая сторона обращена к большему числу.
Смысл сравнения удобно представить на координатной прямой: числа возрастают слева направо. Поэтому большее число расположено правее меньшего, и запись a > b означает, что точка a находится правее точки b. Это представление помогает не путать направление знака, особенно когда числа отрицательные.
Если к двум сравниваемым числам прибавить одно и то же число, обе точки на прямой сдвинутся на одинаковое расстояние. Их порядок не изменится: точка, которая была правее, останется правее. Поэтому из a > b следует a + c > b + c при любом c, в том числе отрицательном.
При умножении на положительное число расстояние между числами изменяется, но направление прямой сохраняется. Значит, если a > b и c > 0, то ac > bc; при делении на такое c знак тоже сохраняется. Отрицательное число меняет направление: например, при умножении на −1 правая часть прямой становится левой, поэтому знак сравнения нужно перевернуть.
Неравенства можно соединять, если конец одного сравнения совпадает с началом другого. Если a > b, то a правее b, а если b > c, то b правее c; следовательно, a правее c и a > c. Это свойство позволяет сравнивать крайние числа, не выполняя дополнительных вычислений.
Взаимно обратные числа — это числа, произведение которых равно 1: например, для 2 обратное число — 1/2. Среди положительных чисел большему числу соответствует меньшая обратная величина: единица, разделённая на большее число, разбивается на большее число частей. Поэтому из a > b > 0 следует 1/a < 1/b; условие положительности здесь обязательно.
| Условие | Действие с обеими частями | Результат |
|---|---|---|
| a > b | Прибавить одно и то же число c | a + c > b + c |
| a > b, c > 0 | Умножить или разделить на c | Знак сохраняется |
| a > b, c < 0 | Умножить или разделить на c | Знак меняется на противоположный |
| a > b и b > c | Сопоставить неравенства | a > c |
| a > b > 0 | Перейти к обратным числам | 1/a < 1/b |
В таблице указаны условия, без которых правило может оказаться неверным: например, при умножении важно знать знак множителя. Найдите строку, подходящую к задаче, и выполните действие сразу с обеими частями. Для двойного неравенства то же действие выполняют со всеми тремя частями.
Задача 1. Сравните числа 3,7 и 3,65, обосновав ответ. Удобно сначала привести десятичные дроби к одинаковому количеству знаков после запятой. Тогда их можно сравнить по разрядам, как обычные целые числа.
Ответ: 3,7 > 3,65. Сначала сравнивают целые части, а если они равны — десятичные разряды слева направо.
Задача 2. Известно, что x < 5. Запишите неравенство, полученное прибавлением к обеим частям числа 3, а затем умножением на −2. Слова «а затем» означают, что второе действие нужно выполнить уже с результатом первого преобразования.
Ответ: −2x − 6 > −16. Можно проверить правило на примере: из 1 < 2 после умножения на −2 получается −2 > −4.
Задача 3. Известно, что 2 < a < 4. Оцените значение 3a − 5. Нужно получить границы для выражения, выполняя одинаковые действия со всеми частями двойного неравенства.
Ответ: 1 < 3a − 5 < 7. Значение выражения больше 1 и меньше 7; равенство границам невозможно, поскольку исходное неравенство строгое.
При умножении или делении на отрицательное число иногда оставляют прежний знак. Ошибка возникает, если забыть, что отрицательный множитель меняет порядок чисел на противоположный. Для проверки подставьте простые числа: из 1 < 2 после умножения на −1 должно получиться −1 > −2.
Другая ошибка — менять знак неравенства при прибавлении одного и того же числа. Обычно правило для отрицательного множителя ошибочно переносят на сложение, хотя сдвиг обеих частей на одинаковую величину сохраняет их порядок. Проверьте это на 2 < 5: после прибавления −3 верно 2 − 3 < 5 − 3, то есть −1 < 2.
При переходе к обратным числам иногда считают, что порядок всегда сохраняется. Для положительных чисел он меняется на противоположный, а для чисел другого знака правило нельзя применять без проверки условий. Например, 2 < 4, но 1/2 > 1/4; сначала убедитесь, что оба числа положительные.
При переносе слагаемого через знак неравенства иногда меняют сам знак сравнения. Меняется знак переносимого слагаемого, потому что фактически к обеим частям прибавляют противоположное число, а направление сравнения остаётся прежним. Например, из x + 3 > 7 следует x > 4, а не x < 4; подставьте число из полученного условия и проверьте исходную запись.
Для работы с неравенствами нужно уметь сравнивать рациональные числа, включая отрицательные и десятичные дроби, и отмечать их на координатной прямой. Также понадобятся правила действий с положительными и отрицательными числами: особенно важно правильно умножать и делить числа разных знаков. Свойства неравенств применяют при решении линейных неравенств и оценке выражений, когда точное значение неизвестно, но можно найти его границы.
Чем строгое неравенство отличается от нестрогого?
Строгое неравенство использует знаки < или > и означает, что сравниваемые числа не равны. Нестрогое записывают знаками ≤ или ≥: равенство в этом случае тоже допускается.
Почему при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется?
Умножение на отрицательное число меняет направление числовой прямой: числа, расположенные правее, оказываются левее. Например, из 2 < 5 при умножении на −1 получаем −2 > −5.
Можно ли прибавлять к обеим частям неравенства любое число?
Да, к обеим частям можно прибавить одно и то же число — положительное, отрицательное или ноль. Знак неравенства при этом сохраняется, потому что оба числа сдвигаются на одинаковое расстояние по числовой прямой.
Почему при переходе к обратным положительным числам порядок меняется?
Чем больше положительное число, тем меньше его обратное число. Например, 2 < 4, но 1/2 > 1/4, поэтому при переходе к обратным числам знак меняется на противоположный.
Как правильно преобразовать двойное неравенство?
Действие нужно выполнить со всеми тремя частями, сохраняя их порядок. Например, из 2 < a < 4 при умножении на 3 получаем 6 < 3a < 12; если умножаем на отрицательное число, оба знака меняются на противоположные.
§ 8. Числовые неравенства и их свойства
