3.3. Свойства арифметических квадратных корней

Определения и обозначения

Корень из произведения — свойство, по которому квадратный корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению их арифметических квадратных корней: √(ab) = √a · √b при a ≥ 0 и b ≥ 0. Это правило позволяет разбить вычисление на более простые части: например, найти корни множителей отдельно. Оно пригодится и при преобразовании выражений, когда под корнем есть удобные множители.

Корень из частного — свойство, по которому квадратный корень из частного равен частному арифметических квадратных корней: √(a/b) = √a/√b при a ≥ 0 и b > 0. Число b должно быть положительным, потому что знаменатель не может быть равен нулю. Свойство помогает упростить дробь под корнем или выбрать более удобный порядок вычислений.

Квадрат арифметического квадратного корня связан с числом под знаком корня равенством (√a)² = a при a ≥ 0. Например, если извлечь корень из 25, а затем возвести результат в квадрат, снова получится 25. Это правило показывает, что возведение в квадрат отменяет извлечение корня, когда исходное число неотрицательно.

Корень из квадрата числа — правило √(a²) = |a| для любого действительного a. Здесь |a| — модуль числа: расстояние от числа до нуля, которое не бывает отрицательным. Правило нужно, чтобы правильно упростить выражение с квадратом под корнем, особенно если знак переменной неизвестен.

Как это устроено

Чтобы понять свойство корня из произведения, рассмотрим число √a · √b при a ≥ 0 и b ≥ 0. Оба корня существуют и неотрицательны, поэтому их произведение тоже неотрицательно. Если возвести это произведение в квадрат, получится (√a · √b)² = ab. Значит, оно является арифметическим квадратным корнем из ab: его квадрат равен подкоренному числу, а само оно неотрицательно.

Свойство корня из частного можно получить из свойства произведения. Пусть a ≥ 0 и b > 0; тогда b и √b не равны нулю, поэтому можно рассмотреть √a/√b. Это число неотрицательно, а его квадрат равен a/b, следовательно, оно и есть √(a/b). Условие b > 0 включает два требования: под корнем в знаменателе должно быть допустимое число, а делить на ноль нельзя.

Возведение арифметического корня в квадрат и извлечение корня из квадрата связаны, но условия у записей различаются. Если a ≥ 0, то √a — число, квадрат которого равен a, поэтому (√a)² = a. А если сначала возвести в квадрат любое число a, результат a² будет неотрицательным, и корень из него должен быть неотрицательным. Поэтому √(a²) равен не всегда самому a, а его модулю.

Модуль необходим, потому что знак числа под квадратом при возведении в квадрат теряется. Например, и 4², и (−4)² равны 16, но арифметический корень √16 равен 4. Следовательно, √((-4)²) = 4, то есть |−4|, а не −4. Если известно, что a ≥ 0, модуль можно заменить на a; если a < 0, то |a| = −a.

Для упрощения выражения ищут под корнем полный квадрат — выражение вида a², корень из которого можно вынести как |a|. Например, из √(5x²) можно получить √5 · |x|, применив свойства произведения и корня из квадрата. Перед преобразованием проверяют, что каждый подкоренный множитель неотрицателен, а знаменатель, если он есть, не равен нулю. Знак переменной учитывают отдельно: при x < 0 модуль |x| заменяется на −x.

Основные свойства арифметических квадратных корней

Сначала выберите строку, которая соответствует выражению, и проверьте её условия. Затем примените формулу и выполните вычисления; если под корнем есть квадрат переменной, не забудьте про модуль. Для частного отдельно убедитесь, что знаменатель положителен.

Разбор задач

В каждой задаче сначала определим подходящее свойство, а затем проверим, можно ли его применить. Такой порядок не даёт случайно извлечь корень из отрицательного числа или разделить на ноль. Запишем преобразования по шагам и сверим результат обратным действием, если это удобно.

Вычислите √(9 · 16).

Под корнем стоит произведение двух положительных чисел. Их корни извлекаются легко, поэтому применим свойство корня из произведения, а не будем сначала перемножать числа под корнем.

1. Проверим условия: 9 ≥ 0 и 16 ≥ 0.
2. Разделим корень произведения на произведение корней: √9 · √16.
3. Вычислим: 3 · 4 = 12.

Ответ: 12. Проверка: 12² = 144, а 9 · 16 = 144.

Упростите выражение √(72/2).

Знаменатель равен 2, поэтому деление определено; числитель и знаменатель неотрицательны. Можно применить свойство корня из частного, но сначала сократить числа под корнем тоже удобно. Получим одинаковый результат обоими способами.

1. Проверим условия: 72 ≥ 0 и 2 > 0.
2. Сократим подкоренное выражение: 72/2 = 36.
3. Извлечём корень: √36 = 6.

Ответ: 6. Например, по свойству частного результат равен √72/√2; после упрощения это также 6.

Упростите выражение √(x² · 5) при x < 0.

В подкоренном выражении есть квадрат переменной, а условие подсказывает её знак. Выделим квадрат и применим свойство произведения, затем заменим модуль с учётом x < 0. Это позволит записать ответ без знака модуля.

1. Проверим допустимость: x² ≥ 0, поэтому 5x² ≥ 0.
2. Представим выражение как √(x²) · √5 = |x|√5.
3. Так как x < 0, то |x| = −x, следовательно, выражение равно −x√5.

Ответ: −x√5. Он неотрицателен, поскольку при x < 0 число −x положительно.

Типичные ошибки

Ошибка: записывать √(a²) = a при любом a. Так делают, забывая, что корень неотрицателен; например, при a = −3 правая часть отрицательна, а √9 = 3. Проверяйте знак переменной или оставляйте модуль: √(a²) = |a|.

Ошибка: применять свойства произведения или частного, если подкоренные числа отрицательны. В этом случае арифметические корни отдельных чисел в школьном курсе не определены, хотя иногда всё выражение под одним корнем может быть неотрицательным. Проверяйте отдельно каждое условие формулы, а не только знак результата.

Ошибка: использовать свойство корня из частного при нулевом знаменателе. Деление на ноль не определено, поэтому формула √(a/b) = √a/√b здесь неприменима. Перед преобразованием убедитесь, что b > 0.

Ошибка: считать, что √(a + b) = √a + √b. Такое правило ошибочно переносит свойство произведения на сумму; например, √(9 + 16) = 5, но √9 + √16 = 7. Подставьте простые числа для проверки и помните: корень из суммы обычно нельзя разделить на сумму корней.

Связь с другими темами

Для изучения свойств нужно знать определение арифметического квадратного корня и условие его существования: подкоренное число неотрицательно. Также понадобятся правила действий с дробями и степенями, в частности смысл квадрата числа. Позже эти свойства помогут упрощать выражения с корнями и решать уравнения. Они пригодятся и при преобразованиях, связанных с квадратными функциями.

Что запомнить

• Арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа.
• √(ab) = √a · √b при a ≥ 0 и b ≥ 0.
• √(a/b) = √a/√b при a ≥ 0 и b > 0.
• (√a)² = a при a ≥ 0.
• √(a²) = |a| для любого действительного a.
• Корень из суммы нельзя раскладывать на сумму корней.