"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Квадратный корень помогает найти число, которое при умножении на себя даёт заданное число. Например, корень из 49 равен 7, потому что 7² = 49. Уравнение x² = 49 имеет два решения: 7 и −7, но знак √ обозначает только неотрицательный корень. Если число не является квадратом натурального числа, его корень можно заключить между соседними натуральными числами. Эти правила нужны для вычислений, сравнения чисел и решения уравнений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадрат числа — это произведение числа на себя: a² = a·a. Верхний маленький знак 2 означает, что число a нужно умножить само на себя, а не на два. Например, 5² = 5·5 = 25. Эта запись нужна, чтобы коротко обозначать результат такого умножения.
Квадратный корень из натурального числа n — число, квадрат которого равен n. Иначе говоря, если a² = n, то a является квадратным корнем из n. Уравнение x² = n имеет два противоположных корня: a и −a, поскольку квадраты этих чисел совпадают. Это понятие помогает восстановить число по его квадрату.
Арифметический квадратный корень из n — неотрицательный квадратный корень, его обозначают √n. Уравнение может иметь два противоположных решения, но знак √ выбирает только одно — положительное или ноль. Например, уравнение x² = 25 имеет корни 5 и −5, а √25 = 5. Такое обозначение позволяет однозначно понимать запись корня.
Полный квадрат — натуральное число, которое получается при возведении натурального числа в квадрат. Например, 9 = 3² и 49 = 7², поэтому 9 и 49 — полные квадраты. У них арифметические корни натуральные числа. Проверка на полный квадрат помогает понять, получится ли точное целое значение корня.
Если a² = n, то и (−a)² = n: при умножении двух отрицательных чисел получается положительное число. Поэтому уравнение x² = n имеет решения a и −a, если a не равно нулю. Однако арифметическим корнем называют только неотрицательное решение. Такое правило отделяет обозначение √n от двух решений уравнения.
Если n — полный квадрат, достаточно найти натуральное число, квадрат которого равен n. Например, 7² = 49, поэтому √49 = 7. Здесь ответ точный: его квадрат в точности совпадает с подкоренным числом. Таблица квадратов помогает быстро находить такие значения и проверять их.
Если натуральное число не является полным квадратом, его квадратный корень не может быть натуральным. В самом деле, будь корень натуральным числом, n равнялось бы квадрату этого числа и тем самым было бы полным квадратом. Например, число 50 не находится среди значений 1², 2², 3² и так далее. Значит, √50 не является натуральным числом, хотя сам корень существует.
Чтобы оценить такой корень, сравните n с квадратами соседних натуральных чисел. Если k² < n < (k + 1)², то √n находится между k и k + 1: при увеличении неотрицательного числа его квадрат тоже увеличивается. Например, 8² = 64, а 9² = 81; поскольку 64 < 70 < 81, получаем 8 < √70 < 9. Сравнивать нужно именно квадраты соседних чисел, а не сами числа с n.
Найденное значение проверяют возведением в квадрат: если результат равен n, корень найден точно. Так проверка 7² = 49 подтверждает, что √49 = 7. Если же известно только, что 8 < √70 < 9, это оценка границ, а не точное значение корня. Чтобы получить приближённое число, можно уточнять границы, но без такой проверки нельзя записывать оценку как равенство.
| Число n | Является ли полным квадратом | Квадратные корни уравнения x² = n | Арифметический корень √n |
|---|---|---|---|
| n = 36 | Да, 36 = 6² | 6 и −6 | √36 = 6 |
| n = 50 | Нет | √50 и −√50 | √50 |
| Сравнение n с квадратами соседних натуральных чисел | Если n = k², то это полный квадрат | Если k² < n < (k + 1)², корни противоположны | k < √n < k + 1 |
| Вывод о точном значении или границах √n | Полный квадрат даёт натуральный корень | Уравнение имеет два корня | Точное значение или промежуток |
Сначала проверьте, совпадает ли n с квадратом натурального числа: это даст точный арифметический корень. Если совпадения нет, подберите соседние квадраты и запишите границы для √n. В столбце с корнями уравнения указываются оба решения, а в последнем столбце — только неотрицательный корень.
Найдём натуральное число, квадрат которого равен 81. Поскольку 9² = 9·9 = 81, число 9 подходит. Значит, арифметический корень равен √81 = 9.
Чтобы решить уравнение, учтём, что противоположное число −9 тоже при возведении в квадрат даёт 81. Проверка показывает: (−9)² = 81. Поэтому уравнение имеет два корня, а знак √ оставляет только неотрицательный из них.
Ответ: √81 = 9; корни уравнения x² = 81 — 9 и −9.
Ищем квадраты соседних натуральных чисел, между которыми находится 70. Проверим 8 и 9: 8² = 64, а 9² = 81. Получилось 64 < 70 < 81.
При переходе от 8 к 9 квадрат возрастает от 64 до 81, поэтому число, квадрат которого равен 70, лежит между 8 и 9. Искомый корень не является натуральным: ни 8, ни 9 при возведении в квадрат не дают 70. Получаем именно границы, а не точное значение корня.
Ответ: 8 < √70 < 9.
Запишем 64 и 81 как квадраты: 64 = 8², 81 = 9². По условию n строго больше 8² и строго меньше 9², поэтому n не равно квадрату ни 8, ни 9. Между этими соседними квадратами нет квадратов натуральных чисел.
Если бы √n было натуральным числом, то n было бы квадратом этого натурального числа. Но единственные квадраты натуральных чисел между 8² и 9² отсутствуют, значит, такого корня нет. Поскольку квадрат неотрицательного числа возрастает вместе с самим числом, из 8² < n < 9² следует 8 < √n < 9.
Ответ: √n не является натуральным числом; 8 < √n < 9.
Ошибка: считать, что √n обозначает оба корня уравнения x² = n. Причина — смешение понятия корня уравнения со специальным знаком √. Для проверки вспомните, что √n по определению неотрицателен, а два решения записывают отдельно.
Ошибка: писать √n = ±a. Знак ± нужен, когда записывают решения уравнения x² = n, но не арифметический корень. Например, правильно: √36 = 6, а x = ±6 — решения уравнения x² = 36. Проверьте, что слева стоит именно знак √.
Ошибка: считать, что у любого натурального числа корень натуральный. Это кажется правдоподобным, если помнить только примеры вроде 36 и 49, но между квадратами могут быть другие числа. Сравните n с квадратами соседних натуральных чисел: если n не совпадает ни с одним квадратом, натурального корня нет.
Ошибка: считать, что √(a²) всегда равно a. Если a отрицательно, результат под знаком корня всё равно неотрицателен, поэтому верное правило — √(a²) = |a|. Например, √((-3)²) = √9 = 3, а не −3. Проверьте знак результата: арифметический корень не бывает отрицательным.
Для работы с корнями нужно уметь возводить натуральные и целые числа в квадрат и знать квадраты натуральных чисел. Чтобы оценить корень, сравнивают числа и их квадраты; поэтому полезно помнить, что квадраты неотрицательных чисел возрастают вместе с числами. Понятие корня пригодится при решении квадратных уравнений и преобразовании выражений с корнями. Умение отличать точное значение от оценки помогает проверять вычисления и не подменять равенство приблизительными границами.
Чем квадратный корень отличается от арифметического квадратного корня?
Квадратными корнями числа n называют оба числа, квадраты которых равны n: обычно это противоположные числа. Арифметический квадратный корень — только неотрицательный из них, и его записывают знаком √n.
Почему √36 равно 6, а не ±6?
Знак √ обозначает арифметический корень, а он по определению неотрицателен. Уравнение x² = 36 имеет два решения: 6 и −6, но √36 = 6.
Как быстро определить, является ли натуральное число полным квадратом?
Сравните число с квадратами соседних натуральных чисел или найдите его в таблице квадратов. Если оно равно квадрату какого-либо натурального числа, то это полный квадрат; например, 64 = 8².
Как найти, между какими целыми числами находится квадратный корень?
Найдите соседние натуральные числа k и k + 1, квадраты которых ограничивают подкоренное число: k² < n < (k + 1)². Тогда k < √n < k + 1.
Почему у числа, которое не является полным квадратом, корень не натуральный?
Если бы корень был натуральным числом k, то подкоренное число равнялось бы k² и, следовательно, было бы полным квадратом. Поэтому для числа между соседними квадратами натуральных чисел корень натуральным быть не может.
3.4. Квадратный корень из натурального числа
