"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Не каждый квадратный корень можно удобно записать точным числом: например, √7 — бесконечная десятичная дробь. В таких случаях находят приближённое значение — число, близкое к корню и удобное для вычислений. Сначала определяют границы корня, сравнивая подкоренное число с квадратами целых чисел, а затем уточняют их до десятых или сотых. Нижняя граница даёт приближение с недостатком, верхняя — с избытком. Чем уже интервал между границами, тем точнее результат.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Приближённое значение квадратного корня — число, близкое к точному значению корня и используемое вместо него в вычислениях. Например, вместо неудобного для записи √7 можно взять десятичное число, лежащее рядом с ним. Такое значение помогает выполнять вычисления, когда точный корень нельзя записать конечной десятичной дробью.
Приближение с недостатком — значение, которое меньше точного значения квадратного корня. Если нижняя граница равна 2,6, а корень чуть больше неё, число 2,6 приближает корень с недостатком. Это обозначение показывает, с какой стороны от точного значения расположено число.
Приближение с избытком — значение, которое больше точного значения квадратного корня. Например, если √7 меньше 2,7, то 2,7 является приближением с избытком. Такие приближения удобно использовать вместе с приближениями с недостатком: они ограничивают точный корень с двух сторон.
Точность приближения — величина, показывающая, насколько близко приближённое значение к точному. Для границ корня её оценивают по ширине интервала между нижним и верхним значениями. Чем интервал уже, тем меньше неопределённость и тем точнее найденное приближение.
Чтобы найти приближённое значение √a, сначала выясняют, между какими целыми числами лежит корень. Для этого сравнивают a с квадратами целых чисел: если 4² < a < 5², то 4 < √a < 5. Такой переход возможен, потому что при неотрицательных числах большему числу соответствует больший квадрат. Сразу получить точный корень удаётся не всегда, зато целые границы задают область поиска.
Чтобы уточнить границы до десятых, проверяют десятичные числа между найденными целыми границами. Например, если корень находится между 2 и 3, можно сравнить a с квадратами 2,1; 2,2; 2,3 и так далее. Квадрат проверяемого числа показывает, меньше ли оно искомого корня или больше него. Так получают более узкий интервал, внутри которого точно лежит корень.
Нижняя граница становится приближением с недостатком, если её квадрат меньше a, а верхняя — приближением с избытком, если её квадрат больше a. Именно поэтому границы проверяют возведением в квадрат, а не сравнением с самим подкоренным числом. Например, для √7 числа 2,6 и 2,7 проверяются так: 2,6² = 6,76 < 7, а 2,7² = 7,29 > 7. Следовательно, 2,6 < √7 < 2,7.
Чем уже интервал, тем точнее известное положение корня. Если нужно уточнить границы до сотых, проверяют числа с двумя знаками после запятой внутри уже найденного интервала. Каждое следующее уточнение уменьшает неопределённость, но требует новых сравнений квадратов. Поэтому разряд выбирают по требуемой точности вычисления.
Округление и поиск границ решают разные задачи. При округлении смотрят на следующую цифру и по правилу выбирают число заданного разряда, но такое число может оказаться как меньше, так и больше точного корня. Граница же должна гарантированно ограничивать корень с нужной стороны, поэтому её проверяют квадратом. Сначала полезно установить интервал, а уже потом округлять значение, если это требуется.
| Что сравниваем | Приближение с недостатком | Приближение с избытком |
|---|---|---|
| Сравнение с точным значением √a | Меньше √a | Больше √a |
| Условие для границы | m² < a, значит, m < √a | n² > a, значит, n > √a |
| Проверка границы | Возвести границу в квадрат и убедиться, что результат меньше a | Возвести границу в квадрат и убедиться, что результат больше a |
| Пример для √7 | 2,6, так как 2,6² = 6,76 < 7 | 2,7, так как 2,7² = 7,29 > 7 |
Сначала выберите предполагаемые границы и возведите каждую в квадрат. Если квадрат нижней границы меньше a, а квадрат верхней — больше a, то корень находится между ними. По мере уточнения заменяйте границы более близкими числами.
Ответ: √30 находится между 5 и 6. Мы не заменяем корень ближайшим целым числом, а устанавливаем границы, между которыми лежит его точное значение.
Ответ: с недостатком — 2,6, с избытком — 2,7. Эти числа дают границы с точностью до десятых, а не одно и то же округлённое значение.
Ответ: 3,46 < √12 < 3,47. Проверка квадратов доказывает, что интервал действительно содержит корень; 3,46 — приближение с недостатком, а 3,47 — с избытком.
Считать, что √a равен ближайшему целому числу. Целая часть или ближайшее целое обычно не является точным значением корня: например, √30 не равен ни 5, ни 6. Ошибка возникает, когда границу принимают за сам корень. Проверьте квадрат выбранного числа: точное равенство возможно лишь тогда, когда его квадрат равен a.
Сравнивать подкоренное число с самими границами, а не с их квадратами. Число a и граница корня относятся к разным величинам, поэтому такое сравнение не проверяет положение корня. Причина ошибки — забывают, что √a определяется как число, квадрат которого равен a. Возведите предполагаемую границу в квадрат и сравните полученное значение с a.
Путать приближения с недостатком и с избытком. Недостаток должен быть меньше точного корня, а избыток — больше. Путаница часто появляется, когда смотрят только на запись десятичного числа, не проверяя его положение. Сравните квадраты обеих границ с подкоренным числом: нижний должен быть меньше, верхний — больше.
Записывать округлённое значение как гарантированную границу корня. Округление выбирает число по следующей цифре, но не устанавливает, с какой стороны от точного корня оно находится. Поэтому округлённое число может оказаться и ниже, и выше корня. Чтобы назвать его границей, отдельно возведите его в квадрат и сравните результат с подкоренным числом.
Для поиска границ корня нужны знания о квадратах целых чисел и десятичных дробей, а также умение сравнивать десятичные дроби. Эти навыки позволяют проверять, какие числа могут быть нижней и верхней границами. Приближённые корни используют в вычислениях с иррациональными числами — такими, которые нельзя точно записать конечной десятичной дробью. Они также помогают решать уравнения, корни которых неудобно выражать точными числами.
Как понять, между какими целыми числами находится квадратный корень?
Найдите квадраты соседних целых чисел, между которыми расположено подкоренное число. Если m² < a < n², то для неотрицательных m и n выполняется m < √a < n.
Почему для сравнения с корнем нужно возводить границы в квадрат?
Квадратный корень — это число, квадрат которого равен подкоренному числу. Поэтому границу проверяют, сравнивая её квадрат с подкоренным числом: если граница положительна, меньший квадрат соответствует меньшему корню.
Чем приближение с недостатком отличается от приближения с избытком?
Приближение с недостатком меньше точного корня, а приближение с избытком — больше. Их можно проверить, возведя оба числа в квадрат и сравнив результаты с подкоренным числом.
Как получить приближение квадратного корня с точностью до сотых?
Сначала найдите границы до десятых, затем проверьте сотые числа внутри полученного интервала. Возводите предполагаемые границы в квадрат: нижняя должна дать число меньше подкоренного, верхняя — больше.
Можно ли считать округлённое значение точной границей корня?
Нет. Округление выбирает число по правилу о следующей цифре, но не гарантирует, что оно меньше или больше точного корня. Чтобы указать границу, нужно отдельно проверить её квадрат.
3.5*. Приближённое вычисление квадратных корней
