"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Алгебраическая дробь — это дробь, в которой числитель и знаменатель являются многочленами. С ней можно выполнять те же действия, что и с обыкновенной дробью, но прежде нужно определить, при каких значениях переменной знаменатель не равен нулю. Разложение на множители помогает сокращать и упрощать выражения, а эти преобразования становятся основой решения рациональных уравнений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Алгебраическая дробь — дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами, например (x² − 1)/(x + 3). Многочлен — выражение из чисел и переменных, связанных сложением, вычитанием и умножением. Такая запись позволяет выполнять с буквенными выражениями действия, похожие на действия с обыкновенными дробями.
Допустимые значения переменной — значения, при которых выражение имеет смысл. В алгебраической дроби знаменатель не может быть равен нулю, потому что на ноль делить нельзя. Поэтому перед преобразованиями выясняют, какие значения переменной нужно исключить.
Выражения называют тождественно равными, если они имеют одинаковые значения при всех допустимых значениях переменной. Например, (x² − 1)/(x − 1) и x + 1 равны при x ≠ 1: разложение на множители показывает, что числитель первой дроби равен (x − 1)(x + 1). Указание допустимых значений важно: исходная дробь при x = 1 не определена, даже если упрощённое выражение существует.
Рациональное уравнение — уравнение, в котором есть алгебраические дроби с переменной в числителе или знаменателе. В отличие от линейного или квадратного уравнения, здесь сначала нужно учесть значения, запрещённые знаменателями. Затем уравнение преобразуют так, чтобы избавиться от дробей, и проверяют найденные корни.
Чтобы упростить алгебраическую дробь, числитель и знаменатель раскладывают на множители. Например, x² − 9 можно представить как (x − 3)(x + 3), а x² + 3x — как x(x + 3). Тогда общий множитель виден и его можно убрать из обеих частей дроби. Именно разложение на множители превращает сложные многочлены в произведения, с которыми удобно работать.
Сокращать можно множители, потому что дробь означает деление произведения на произведение. Отдельные слагаемые так сократить нельзя: в выражении (x + 2)/x числитель — сумма, и x не является множителем всего числителя. Ошибочное сокращение изменяет значение выражения. Чтобы проверить себя, сначала поставь скобки вокруг числителя и знаменателя и попробуй представить каждый из них именно произведением.
При сложении и вычитании дробям нужен общий знаменатель, как и обыкновенным дробям. Если знаменатели разные, выбирают выражение, которое делится на каждый из них; часто для этого перемножают знаменатели, а если в них есть общие множители — используют разложение на множители. Затем каждую дробь домножают на недостающий множитель и складывают или вычитают числители. Знаменатель оставляют общим, потому что складываются части одной и той же дроби, а не сами знаменатели.
При умножении перемножают числители между собой и знаменатели между собой, после чего, если возможно, раскладывают полученные выражения на множители и сокращают общие. Деление заменяют умножением на дробь, обратную делителю: числитель и знаменатель второй дроби меняются местами. Но ограничения нужно записать заранее: нельзя допускать нулевой знаменатель, а при делении ещё и нулевой делитель. Иначе преобразование может скрыть значение, при котором исходное выражение не определено.
Решая рациональное уравнение, сначала находят все значения, обращающие знаменатели в ноль. Затем обе части умножают на общий знаменатель, чтобы убрать дроби, и решают получившееся уравнение. Умножение равносильно преобразованию только там, где общий знаменатель не равен нулю, поэтому исключённые значения остаются запрещёнными. В конце каждый найденный корень проверяют в исходном уравнении и отбрасывают недопустимые значения.
| Действие | Правило | Что проверить |
|---|---|---|
| Сокращение | Разложить числитель и знаменатель на множители и сократить общие множители. | Знаменатель не равен нулю; сокращаются множители, а не слагаемые. |
| Сложение и вычитание | Привести дроби к общему знаменателю, выполнить действие с числителями. | Учесть ограничения исходных знаменателей и правильно раскрыть скобки. |
| Умножение | Перемножить числители и знаменатели, затем при возможности сократить. | Знаменатели исходных дробей не равны нулю. |
| Деление | Умножить первую дробь на обратную второй. | Знаменатели не равны нулю, делитель не равен нулю. |
| Решение рационального уравнения | Найти ограничения, умножить на общий знаменатель, решить уравнение. | Проверить кандидаты в исходном уравнении и исключить недопустимые. |
Пользуйся таблицей как коротким планом действий, но сначала всегда выписывай ограничения для переменной. Затем выбери строку, соответствующую задаче, и выполни преобразования. В конце сверься с последним столбцом: он помогает заметить условия, которые легко упустить.
Сначала выясним, где исходная дробь определена: знаменатель x² + 3x может обращаться в ноль. После разложения на множители станет видно, можно ли сократить дробь. Сокращение не отменяет ограничений исходной записи.
Ответ: (x − 3)/x, x ≠ 0, x ≠ −3. Значение −3 остаётся запрещённым, хотя общий множитель после сокращения исчез: в исходной дроби при нём знаменатель равен нулю.
Знаменатели разные, поэтому нельзя просто складывать числители или знаменатели. Общий знаменатель — произведение (x − 2)(x + 2), поскольку каждый из исходных знаменателей входит в него как множитель. Сначала запишем ограничения, а затем приведём обе дроби к этой общей основе.
Ответ: (3x − 2)/((x − 2)(x + 2)), x ≠ 2, x ≠ −2. Ограничения взяты из исходного выражения, поэтому сохраняются и после преобразования.
Нельзя сразу умножать на знаменатели, не проверив, что они не обращаются в ноль. Сначала исключим недопустимые значения, а затем умножим обе части на общий знаменатель. После решения убедимся, что полученное значение подходит исходному уравнению.
Ответ: x = 3. Проверка нужна именно в исходном уравнении: она подтверждает, что корень не запрещён знаменателями и действительно удовлетворяет условию.
Первая ошибка — сокращать слагаемые, например пытаться сократить x в (x + 2)/x. Это происходит, когда правила для произведения переносят на сумму. Проверь себя: представь числитель и знаменатель в виде произведения; общий множитель должен входить во всё выражение, а не только в одно слагаемое.
Вторая ошибка — складывать знаменатели вместе с числителями. Так делают, забыв, что складывают дроби с разными долями целого, поэтому сначала нужно выразить их через общий знаменатель. Проверь результат на простых числах: 1/2 + 1/3 не равно 2/5, а после приведения получается 5/6.
Третья ошибка — не записать значения, при которых знаменатель равен нулю. Ограничения легко упустить, если сразу начать раскладывать многочлены или сокращать дробь. Перед вычислениями приравняй каждый исходный знаменатель к нулю и выпиши найденные запрещённые значения.
Четвёртая ошибка — принять корень уравнения после избавления от знаменателей, не проверив его. Умножение на знаменатель приводит к уравнению, которое решают только при условии, что этот знаменатель не нулевой. Сверь каждый кандидат со списком ограничений и подставь его в исходное уравнение; недопустимое значение корнем не является.
Для работы с алгебраическими дробями нужны разложение многочленов на множители и действия с обыкновенными дробями. Освоенные преобразования пригодятся при решении рациональных уравнений и систем уравнений. Они также связывают тождественные преобразования многочленов с изучением функций: ограничения на знаменатели помогают определять область, в которой функция имеет смысл.
Почему нельзя сократить x в выражении (x + 2)/x?
Сокращать можно только общий множитель всего числителя и всего знаменателя. В числителе x + 2 — сумма, а не произведение с множителем x, поэтому сокращение невозможно. Кроме того, x ≠ 0.
Как быстро найти значения переменной, недопустимые для дроби?
Приравняй знаменатель к нулю и реши полученное уравнение. Найденные значения нельзя подставлять в исходную дробь. Если знаменатель состоит из множителей, приравняй к нулю каждый из них.
Можно ли умножить обе части рационального уравнения на общий знаменатель?
Можно, если сначала записать значения переменной, при которых знаменатель равен нулю, и исключить их. Для всех остальных значений общий знаменатель не равен нулю, поэтому умножение сохраняет равенство. Полученные корни всё равно проверяют в исходном уравнении.
Почему после решения уравнения нужно проверять корни?
При умножении на знаменатели уравнение может привести к кандидату, который не допустим в исходном выражении. Такой кандидат обращает один из знаменателей в ноль и не является корнем исходного уравнения. Проверка позволяет исключить его.
Как понять, что алгебраические дроби равны?
Дроби равны, если их значения совпадают при всех значениях переменной, допустимых для обеих дробей. Это можно проверить приведением к общему знаменателю или перекрёстным умножением, не забывая об ограничениях. Если после преобразования получаются одинаковые выражения, дроби тождественно равны в общей области допустимых значений.
Дополнения к главе 1
