2.4. Функция у = 1/х

Определения и обозначения

Функция y = 1/x — функция, задающая обратную пропорциональность: каждому ненулевому x соответствует значение, обратное ему. Например, если x = 4, то y = ¼, а если x = −2, то y = −½. Это правило связывает аргумент x и значение y так, что их произведение равно 1. Оно помогает понять, как меняется одна величина при изменении другой.

Область определения функции y = 1/x — множество всех действительных чисел, кроме нуля. Область определения показывает, какие значения можно подставлять вместо x. Ноль исключён, потому что делить на ноль нельзя. Поэтому в таблице значений и при построении графика аргумент x всегда выбирают отличным от нуля.

Гипербола — график функции y = 1/x, состоящий из двух ветвей в первой и третьей координатных четвертях. Первая четверть соответствует положительным x и y, третья — отрицательным x и y. Ветви не соединяются: между ними находится начало координат, где функция не определена. Название графика нужно, чтобы кратко обозначать его форму и расположение.

Область значений функции y = 1/x — множество всех действительных чисел, кроме нуля. Она описывает, какие ответы y вообще могут получиться при допустимых x. Дробь 1/x не станет нулём, поскольку её числитель равен единице. Зато любое ненулевое число можно получить: достаточно взять его обратное в качестве x.

Как это устроено

Из формулы y = 1/x следует равенство x·y = 1. Поэтому, если положительный x становится больше, y должен уменьшаться, чтобы произведение оставалось равным единице: например, при x = 1 получается y = 1, а при x = 2 — y = ½. При отрицательном x значение y тоже отрицательно, иначе произведение не могло бы быть положительным. Так объясняются и обратная зависимость, и расположение ветвей графика.

Чтобы построить график, выбирают несколько ненулевых значений x и для каждого вычисляют y по формуле. Например, получаются точки (1; 1), (2; ½) и (−1; −1); их отмечают на координатной плоскости. Чем больше удачно выбранных значений, тем яснее видна форма графика. При этом точки соединяют плавно, не проводя график через ноль.

Знак значения зависит от знака аргумента. Если x > 0, то единица, делённая на положительное число, положительна; если x < 0, результат деления на отрицательное число отрицателен. Поэтому положительные значения функции лежат выше оси x, а отрицательные — ниже неё. Вместе с тем знаки x и y совпадают, так что ветви находятся только в первой и третьей четвертях.

График симметричен относительно начала координат. Если точка (x; y) принадлежит графику, то xy = 1; для точки (−x; −y) произведение также равно 1, ведь (−x)(−y) = xy. Значит, обе точки принадлежат графику, и каждая из них является поворотом другой на 180° вокруг начала координат. Эту симметрию удобно использовать при построении: достаточно построить одну ветвь и отразить её относительно начала координат.

Когда x приближается к нулю, дробь 1/x по модулю становится всё больше: знаменатель уменьшается, а значение дроби возрастает по модулю. Когда модуль x, наоборот, увеличивается, значение 1/x приближается к нулю. Поэтому ветви подходят всё ближе к осям координат, но не пересекают их: прямые x = 0 и y = 0 называют асимптотами. Ось y соответствует запрещённому значению x = 0, а ось x не пересекается, потому что функция никогда не принимает значение y = 0.

Свойства функции y = 1/x

Таблица помогает быстро проверить, какие значения допустимы и где искать точки графика. При решении задачи о поведении функции выбирайте нужную строку: например, для определения знака смотрите на знак x. Не забывайте, что промежутки убывания разделены нулём, где функция не определена.

Разбор задач

Задача 1. Найдите значение функции y = 1/x при x = −4 и укажите, принадлежит ли точка (−4; −¼) её графику. Сначала подставим данный аргумент в формулу, а затем сравним результат с координатой y указанной точки. Это позволяет проверить сразу и вычисление, и принадлежность точки графику.

1. Подставляем x = −4: y = 1/(−4) = −¼.
2. У точки (−4; −¼) первая координата равна −4, а вторая совпадает с найденным значением функции.
3. Следовательно, точка удовлетворяет формуле y = 1/x и лежит на графике.

Ответ: y = −¼; точка принадлежит графику.

Задача 2. Постройте график функции y = 1/x для x = −3, −1, −½, ½, 1, 3. Для каждого аргумента вычислим обратное ему число и получим координаты точек. Затем нанесём их на плоскость, учитывая, что ветви должны быть плавными и не пересекать оси координат.

1. При x = −3, −1, −½ получаем y = −⅓, −1, −2. Соответствующие точки: (−3; −⅓), (−1; −1), (−½; −2).
2. При x = ½, 1, 3 получаем y = 2, 1, ⅓. Точки: (½; 2), (1; 1), (3; ⅓).
3. Отмечаем точки и проводим через них две плавные ветви: одну в первой четверти, другую в третьей. Ветви симметричны относительно начала координат и приближаются к осям, не пересекая их.

Ответ: график проходит через перечисленные точки и представляет собой две ветви гиперболы.

Задача 3. Найдите точки пересечения графиков y = 1/x и y = x. В точке пересечения значения обеих функций при одном и том же x должны совпадать, поэтому приравняем формулы. После решения уравнения обязательно проверим найденные значения с учётом ограничения x ≠ 0.

1. Приравниваем выражения: 1/x = x, где x ≠ 0.
2. Умножаем обе части на x: 1 = x². Тогда x = 1 или x = −1.
3. Подставляем значения в y = x: получаем y = 1 и y = −1. Обе точки удовлетворяют исходным формулам.

Ответ: графики пересекаются в точках (1; 1) и (−1; −1).

Типичные ошибки

Первая ошибка — включать ноль в область определения. Так происходит, если смотреть только на множество действительных чисел и забыть, что x стоит в знаменателе. Проверка простая: подставьте предполагаемое значение в формулу; при x = 0 получится деление на ноль. Значит, ноль нужно исключить.

Иногда считают, что функция может принимать значение 0, потому что ноль кажется обычным возможным ответом. Но уравнение 1/x = 0 не имеет решений: дробь равна нулю только тогда, когда её числитель равен нулю, а числитель здесь — 1. Для самопроверки подставьте найденный ответ обратно в формулу. Если значение x ненулевое, результат всё равно не будет нулём.

Ещё одна ошибка — говорить, что функция убывает на всей числовой прямой. Ноль разделяет её область определения на два промежутка, и через эту точку нельзя пройти: функция там отсутствует. Поэтому убывание указывают отдельно на (−∞; 0) и (0; +∞). Проверяйте формулировку свойства по области определения: она не должна включать запрещённую точку.

При построении иногда соединяют ветви через начало координат или проводят их через оси. Это неверно, потому что на оси y находится запрещённый аргумент x = 0, а на оси x функция должна была бы иметь значение y = 0. Проверьте каждую предполагаемую точку оси подстановкой в формулу. Ветви приближаются к осям, но не пересекают их.

Связь с другими темами

Для изучения функции y = 1/x нужно уметь подставлять числа в формулы, отмечать точки на координатной плоскости и строить график по таблице значений. Эти навыки уже знакомы по работе с другими функциями. Здесь к ним добавляется внимание к ограничениям: аргумент не должен обращаться в ноль. Такое умение понадобится при преобразовании выражений, содержащих дроби.

Обратная пропорциональность встречается и в дальнейшей алгебре. Она пригодится при изучении дробно-рациональных выражений, преобразований графиков и задач, в которых величины зависят обратно друг от друга. Например, при неизменном произведении увеличение одной величины приводит к уменьшению другой. Понимание формы гиперболы помогает связывать формулу с поведением величин и графиком.

Что запомнить

• Формула функции: y = 1/x.
• Аргумент x не может быть равен нулю.
• Значение функции никогда не равно нулю.
• График функции — гипербола с ветвями в первой и третьей четвертях.
• График симметричен относительно начала координат.
• Функция убывает на каждом из промежутков (−∞; 0) и (0; +∞).
• Оси координат — асимптоты гиперболы.