"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Функция y = x² каждому числу x ставит в соответствие его квадрат. Её график — парабола: плавная кривая с вершиной в точке (0; 0) и ветвями, направленными вверх. По графику можно находить значения функции и выяснять, при каких x она принимает заданное значение. Чтобы построить параболу, составляют таблицу значений, отмечают полученные точки и учитывают симметрию графика относительно оси y.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Функция y = x² — правило, по которому каждому значению x соответствует значение y, равное квадрату x. Например, при x = 3 получаем y = 9, а при x = −3 тоже y = 9. Это правило позволяет вычислять значения функции и составлять таблицу для построения графика.
График функции — множество точек (x; y), координаты каждой из которых удовлетворяют заданной зависимости. Для y = x² на графике находятся, например, точки (0; 0), (1; 1) и (−1; 1). По графику удобно видеть, как меняется функция, и определять её значения без повторных вычислений.
Парабола — кривая, которой является график функции y = x². Она проходит через точки, полученные по формуле, и симметрична относительно вертикальной оси. Название кривой помогает отличать её форму от прямой или окружности.
Вершина параболы — точка, в которой меняется направление её движения. У графика y = x² вершина находится в начале координат и имеет координаты (0; 0). Она нужна, чтобы определить, где график достигает своего наименьшего значения.
Чтобы построить график, сначала выбирают несколько значений x и вычисляют для каждого квадрат. Например, при x = −2, −1, 0, 1, 2 получаются значения y = 4, 1, 0, 1, 4. Каждая пара чисел задаёт точку (x; y), которую отмечают на координатной плоскости. Таблица связывает вычисления с расположением точек и помогает не перепутать координаты.
График симметричен относительно оси y, потому что противоположные числа имеют одинаковые квадраты: x² = (−x)². Например, значения при x = 2 и x = −2 равны 4, поэтому точки (2; 4) и (−2; 4) лежат на одной высоте. Если отметить одну из них, вторую можно найти зеркальным отражением относительно оси y. Эта симметрия помогает проверять построение и не вычислять каждое значение отдельно.
Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому y = x² никогда не бывает меньше нуля. При x = 0 квадрат равен 0, а при любом другом x он положителен. Значит, график не опускается ниже оси x и касается её в начале координат. Там находится и наименьшее значение функции.
Полученные точки соединяют не отрезками, а плавной линией: значение x можно выбирать не только целым, и график содержит точки между отмеченными. Слева и справа от начала координат ветви поднимаются вверх, а сама кривая имеет вершину в точке (0; 0). Такое очертание и называют параболой. Симметричные точки должны располагаться на одинаковом расстоянии от оси y.
По мере удаления от вершины значение функции растёт, потому что увеличивается модуль x, а вместе с ним и квадрат x². Например, при |x| = 1 значение равно 1, при |x| = 2 оно уже равно 4, а при |x| = 3 — 9. Поэтому обе ветви поднимаются, хотя слева аргумент сначала становится меньше. Сравнивать здесь нужно не сами x, а их расстояние от нуля.
| Свойство | Описание |
|---|---|
| Область определения | Все действительные числа |
| Множество значений | Неотрицательные числа: y ≥ 0 |
| Нули функции | x = 0 |
| Наименьшее значение и точка его достижения | 0 при x = 0; точка (0; 0) |
| Ось симметрии | Ось y |
| Промежутки убывания и возрастания | Убывает при x ≤ 0; возрастает при x ≥ 0 |
Область определения показывает, какие значения можно подставлять вместо x, а множество значений — какие результаты могут получиться. По строкам о нуле и минимуме видно, где парабола встречается с осью x и где расположена её вершина. Свойства симметрии и изменения функции помогают проверить график и быстрее читать его.
Задача 1. Построить график функции y = x², составив таблицу значений для x = −2, −1, 0, 1, 2.
Для каждого выбранного x вычислим квадрат: (−2)² = 4, (−1)² = 1, 0² = 0, 1² = 1, 2² = 4.
Запишем пары координат: (−2; 4), (−1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 4). В каждой паре сначала указан x, затем y.
Отметим точки на координатной плоскости и проведём через них плавную симметричную кривую. Проверим, что точки с противоположными x находятся на одинаковой высоте.
Ответ: построенная кривая — парабола с вершиной (0; 0) и ветвями, направленными вверх.
Задача 2. Определить по графику y = x² значения функции при x = −3 и x = 2, а также найти значения x, при которых y = 4.
При x = −3 квадрат равен 9, значит, на графике находим точку с абсциссой −3 и получаем y = 9.
При x = 2 квадрат равен 4, поэтому значение функции равно 4.
Чтобы найти x при y = 4, смотрим, где горизонтальный уровень y = 4 пересекает параболу. Пересечения находятся при x = −2 и x = 2: одинаковому положительному значению y соответствуют противоположные абсциссы.
Ответ: y(−3) = 9, y(2) = 4; при y = 4 значения x равны −2 и 2.
Задача 3. Найти координаты точек пересечения графика y = x² с прямой y = 9 и проверить результат подстановкой.
В точке пересечения графики имеют одинаковую ординату, поэтому приравниваем выражения: x² = 9.
Решаем уравнение: x = −3 или x = 3, так как оба числа при возведении в квадрат дают 9.
Подставляем найденные значения в y = x²: при x = −3 получаем y = 9, и при x = 3 также y = 9. Значит, обе точки лежат и на параболе, и на прямой.
Ответ: точки пересечения — (−3; 9) и (3; 9).
Некоторые рисуют часть параболы ниже оси x. Так бывает, если забыть, что квадрат любого действительного числа неотрицателен. Проверьте вычисления: каждое y = x² должно быть не меньше нуля.
При положительном y иногда отмечают только одну точку, например x = 2 для y = 4. Второе решение x = −2 пропускают, потому что забывают о симметрии и равенстве квадратов противоположных чисел. Проверьте уравнение x² = y: при y > 0 у него два корня.
Точки таблицы могут соединить отрезками или ломаной. Так делают, принимая выбранные значения x за единственные точки графика, хотя функция задана и для промежуточных чисел. Проверьте форму: график должен быть плавной кривой, проходящей через отмеченные точки.
Можно перепутать координаты вершины и значение функции в ней. Вершина — точка (0; 0), а значение функции в ней — число 0; это не две разные вершины. Подставьте x = 0 в формулу и запишите пару координат в порядке (x; y).
Для построения параболы нужны навыки возведения чисел в квадрат, работы с координатной плоскостью и построения графика по таблице значений. Если эти действия знакомы, можно сосредоточиться на форме кривой и её свойствах. График y = x² станет основой для изучения квадратичной функции и графиков вида y = x² + b. Он также помогает решать некоторые уравнения графическим способом: решения соответствуют абсциссам точек пересечения графиков.
Почему график y = x² симметричен относительно оси y?
Для противоположных чисел x и −x квадраты одинаковы: x² = (−x)². Поэтому точки графика с абсциссами x и −x имеют одинаковую ординату и расположены зеркально относительно оси y.
Почему у функции y = x² нет отрицательных значений?
Квадрат любого действительного числа неотрицателен: число, умноженное на себя, не может дать отрицательный результат. Поэтому все точки графика находятся на оси x или выше неё.
Как найти координаты вершины параболы?
Для графика y = x² вершина находится в начале координат. При x = 0 получаем y = 0, поэтому координаты вершины — (0; 0).
Как по графику определить, при каких x значение функции равно заданному числу?
Найдите на оси y заданное значение и проведите через него горизонтальную линию. Абсциссы точек её пересечения с параболой и будут искомыми значениями x; при положительном значении y их два.
Почему для построения графика достаточно выбрать несколько значений x?
Таблица помогает получить точки, через которые проходит график, а плавная линия между ними задаёт его вид. Для y = x² можно брать значения x парами, например −2 и 2: их точки симметричны относительно оси y. Точек должно быть достаточно, чтобы линия получилась точной.
2.3. График функции у = х^2
