2.2. Функция у = х^2

Определения и обозначения

Функция y = x² — это правило, по которому каждому действительному числу x ставится в соответствие квадрат этого числа. Например, при x = 3 получаем y = 9, а при x = −3 тоже y = 9. Такая запись помогает быстро находить значение y по заданному аргументу x.

Область определения функции — множество всех значений аргумента, которые можно подставить в её формулу. Для функции y = x² это все действительные числа: возвести в квадрат можно и положительное, и отрицательное число, и ноль. Знание области определения показывает, какие значения x допустимы.

Область значений функции — множество всех значений, которые может принимать y. У функции y = x² это неотрицательные числа, потому что квадрат не бывает меньше нуля. Это понятие позволяет понять, какие ответы могут появиться при вычислениях или решении уравнений.

Парабола — название графика функции y = x². Она симметрична относительно оси y, а её вершина находится в начале координат, в точке (0; 0). По форме графика можно увидеть, где функция убывает, где возрастает и какое значение является наименьшим.

Как это устроено

Чтобы найти значение функции, нужно возвести аргумент в квадрат. Если аргумент отрицательный, при умножении числа на само себя перемножаются два отрицательных множителя, поэтому результат положителен: например, (−2) · (−2) = 4. Ноль в квадрате остаётся нулём, а у любого ненулевого числа квадрат больше нуля. Поэтому значения y неотрицательны, и только при x = 0 функция обращается в ноль.

График удобно строить по таблице: выбирают несколько значений x, вычисляют для каждого x² и отмечают полученные точки на координатной плоскости. Например, для x = −2, −1, 0, 1, 2 выходят значения y = 4, 1, 0, 1, 4. Пары противоположных аргументов дают одинаковые результаты, поэтому точки легко проверить и расположить симметрично. После этого точки соединяют плавной линией, получая параболу.

Симметрия объясняется равенством f(−x) = (−x)² = x² = f(x). Значит, при замене аргумента на противоположный высота точки не меняется, меняется только её положение слева или справа от оси y. Например, точки (2; 4) и (−2; 4) находятся на одинаковом расстоянии от этой оси. Поэтому ось y служит осью симметрии графика.

В вершине параболы значение функции самое маленькое: оно равно нулю. Если двигаться от вершины влево, то есть брать x от 0 в сторону отрицательных чисел, расстояние до нуля растёт, а вместе с ним растёт и квадрат; если двигаться по оси x от −∞ к 0, значения y, наоборот, уменьшаются. Поэтому функцию называют убывающей на (−∞; 0]. Справа от нуля при увеличении x увеличивается и x², так что функция возрастает на [0; +∞).

Вершина графика расположена в точке (0; 0), потому что при x = 0 получаем y = 0, а все остальные значения функции больше нуля. Ось y проходит через вершину и делит параболу на две зеркально одинаковые части. Эти особенности позволяют проверять рисунок: вершина должна быть в начале координат, а точкам справа должны соответствовать такие же по высоте точки слева.

Основные свойства функции y = x²

Таблица помогает быстро найти нужное свойство, когда решаешь задачу или описываешь график. Например, по области значений можно сразу понять, что уравнение x² = −5 не имеет действительных решений. При чтении промежутков помни: до нуля функция убывает, а после нуля возрастает.

Разбор задач

Задача 1. Построение графика по таблице

Заполните таблицу значений функции y = x² для x = −2, −1, 0, 1, 2 и постройте график. Сначала для каждого аргумента нужно отдельно вычислить квадрат, не забывая заключать отрицательные числа в скобки. Затем полученные пары чисел (x; y) отмечают на координатной плоскости.

1. При x = −2: y = (−2)² = 4.
2. При x = −1: y = (−1)² = 1.
3. При x = 0: y = 0² = 0.
4. При x = 1: y = 1² = 1; при x = 2: y = 2² = 4.
5. Отметьте точки (−2; 4), (−1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 4) и соедините их плавной линией.

Значения для −2 и 2 совпали, как и значения для −1 и 1: это проверка симметрии. При построении отметьте точку (0; 0) как вершину и расположите пары точек на одинаковой высоте по обе стороны оси y. Ответ: значения y равны 4, 1, 0, 1, 4; график — парабола.

Задача 2. Сравнение значений функции

Найдите значения функции y = x² при x = −3 и x = 2; определите, какое значение больше. Подстановка означает, что вместо x в формуле нужно записать заданное число и вычислить результат. Особенно внимательно оформляй квадрат отрицательного аргумента: скобки показывают, что в квадрат возводится всё число −3.

1. При x = −3 получаем y = (−3)² = 9.
2. При x = 2 получаем y = 2² = 4.
3. Сравниваем результаты: 9 > 4.

Сравнивать нужно именно полученные значения функции, а не сами аргументы: −3 меньше 2, но его квадрат больше. Это также согласуется с симметрией графика и его ростом при удалении от нуля: число −3 находится дальше от нуля, чем число 2. Ответ: значения равны 9 и 4; больше значение при x = −3.

Задача 3. Решение уравнения

Найдите все значения x, при которых y = x² равно 16, и объясните, почему решений два. Для этого вместо y подставляем 16 и получаем уравнение x² = 16. Ищем числа, квадрат которых равен 16, причём проверяем как положительные, так и отрицательные числа.

1. Записываем уравнение: x² = 16.
2. Так как 4² = 16, одним решением является x = 4.
3. Так как (−4)² = 16, вторым решением является x = −4.
4. Проверяем: других действительных чисел, квадрат которых равен 16, нет.

Два решения возникают потому, что противоположные числа имеют одинаковые квадраты. На графике это точки (4; 16) и (−4; 16), расположенные симметрично относительно оси y. Ответ: x = −4 и x = 4.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что при отрицательном x значение функции тоже отрицательно. Так думают, перенося знак аргумента на результат, но при возведении числа в квадрат перемножаются два одинаковых множителя: (−3)² = 9. Проверь себя на любом отрицательном числе: квадрат должен быть не меньше нуля.

Ошибка: записывать область значений как все действительные числа. Это неверно, потому что квадрат не может быть отрицательным, хотя аргумент x может быть любым. Чтобы проверить область значений, попробуй решить, может ли y = x² равняться, например, −1: действительного x для этого нет.

Ошибка: утверждать, что функция возрастает на всей числовой прямой. Слева от нуля при движении к нулю значения функции уменьшаются: например, от 9 при x = −3 до 0 при x = 0. Проверь направление изменения отдельно до нуля и после него: на (−∞; 0] функция убывает, на [0; +∞) возрастает.

Ошибка: строить график без симметричных точек для x и −x. Иногда значения вычисляют только для положительных аргументов и забывают отразить точки влево от оси y. Но f(−x) = f(x), поэтому у точек с противоположными абсциссами должна быть одинаковая ордината. Проверь, например, что точки для x = 2 и x = −2 обе имеют y = 4.

Связь с другими темами

Чтобы работать с функцией y = x², нужно уметь возводить положительные и отрицательные числа в квадрат и подставлять числа в формулу. Также понадобятся понятия функции, аргумента и области определения: они помогают понимать, какое число задаётся и какие значения допустимы. Для построения параболы нужно ориентироваться на координатной плоскости и уметь отмечать точки по координатам.

Свойства графика y = x² пригодятся при изучении квадратичных функций: их графики связаны с параболой и её преобразованиями. Умение рассуждать о квадратах помогает решать уравнения вида x² = a и проверять число решений. В частности, график показывает, почему при положительном a обычно находятся два противоположных значения x.

Что запомнить

• Функция задаётся формулой y = x².
• Область определения — все действительные числа.
• Область значений — y ≥ 0.
• График функции — парабола с вершиной в точке (0; 0).
• Функция чётная: f(−x) = f(x).
• Функция убывает при x ≤ 0 и возрастает при x ≥ 0.
• Наименьшее значение функции равно нулю.