2.1. Функция у = х и её график

Определения и обозначения

Функция — это зависимость, при которой каждому значению одной переменной соответствует единственное значение другой. Переменную, от которой выбирают значение, называют независимой, а значение, которое от неё зависит, — зависимым. Это определение помогает отличить функцию от ситуации, где одному исходному значению могут соответствовать разные результаты. Например, если известен x и по правилу можно однозначно найти y, такая зависимость задаёт функцию.

В записи y = x буквой x обозначают аргумент функции — независимую переменную. Буква y обозначает значение функции, которое определяется выбранным x. Формула говорит, что y равно x, поэтому аргумент и полученное значение совпадают. Это обозначение удобно: по нему сразу видно правило вычисления.

График функции — это множество точек координатной плоскости с координатами (x; y), где y является значением функции при данном x. Первой в записи точки указывают координату x, второй — координату y. Каждая подходящая пара чисел задаёт точку графика, а все такие точки вместе показывают функцию на координатной плоскости. График помогает увидеть зависимость не только по формуле, но и по расположению точек.

Область определения функции — это все значения аргумента, для которых формула задаёт значение функции. Для y = x область определения состоит из всех действительных чисел: любое число можно поставить вместо x, и тогда получится такое же число y. Здесь нет ни деления на ноль, ни другого ограничения на выбор аргумента. Поэтому для построения графика нужно учитывать не только несколько отмеченных точек, но и все возможные x.

Как это устроено

Чтобы найти значение функции y = x, достаточно подставить выбранное число вместо x. Например, если x = 4, то в правой части равенства стоит 4, значит, y = 4. Это работает для любого числа, потому что правило не меняется: оно просто переносит выбранное значение аргумента в значение функции. Поэтому при x = −1 получаем y = −1, а при x = 0 — y = 0.

Для построения удобно составить таблицу: в первой строке записать значения x, затем вычислить соответствующие y и оформить пары координат. Например, при x = −2 получаем точку (−2; −2), при x = 0 — (0; 0), а при x = 2 — (2; 2). Эти точки отмечают на координатной плоскости, соблюдая порядок координат. Таблица помогает не перепутать вычисления и увидеть, какие точки нужно нанести.

Каждая точка графика должна удовлетворять равенству y = x, то есть иметь равные координаты. Например, точка (1; 1) подходит, а (1; 2) — нет, поскольку в ней x и y различаются. Все точки с равными координатами выстраиваются на одной прямой: при переходе от одной такой точки к другой обе координаты изменяются одинаково. Поскольку формула определяет значение для каждого действительного x, график включает всю прямую, а не только точки из таблицы.

При x = 0 формула даёт y = 0, поэтому прямая проходит через начало координат. Кроме того, у каждой её точки абсцисса (координата x) равна ординате (координате y). Из-за этого прямая расположена симметрично относительно осей координат и образует равные углы с их положительными направлениями. Это свойство помогает узнавать график и проверять правильность построения.

Если x увеличивается на некоторое число, y увеличивается на столько же, потому что y всегда равно x. Например, при переходе от x = 1 к x = 3 значение функции тоже возрастает от 1 до 3. При x < 0 значение y также отрицательно, поэтому соответствующие точки лежат в третьей координатной четверти. При положительном x положительно и y, так что точки находятся в первой четверти.

Значения функции y = x и координаты точек графика

Выбери строку с нужным x и прочитай соответствующее значение y. Затем запиши координаты точки в порядке (x; y). По точкам из таблицы можно построить график, но сама прямая продолжается и за пределами этих значений.

Разбор задач

1. Найдите значение функции y = x при x = −3 и запишите соответствующую точку графика.

Нужно найти значение y и записать точку так, чтобы сначала шёл аргумент, а затем значение функции. Поскольку формула y = x, выбранное значение аргумента сразу определяет y. Отрицательный знак при этом сохраняется.

1. Подставим x = −3 в правило y = x.
2. Получим y = −3, так как значение функции равно аргументу.
3. Запишем координаты в порядке (x; y): (−3; −3).

Ответ: y = −3; точка (−3; −3).

2. Постройте график функции y = x, используя таблицу значений для x = −2, 0 и 2.

Для построения сначала нужно узнать y для каждого из заданных аргументов. Затем пары чисел станут координатами точек. Через эти точки проводят прямую, потому что график функции y = x — не ограниченный набор точек из таблицы.

1. При x = −2 получаем y = −2, значит, отмечаем точку (−2; −2).
2. При x = 0 получаем y = 0, значит, отмечаем точку (0; 0).
3. При x = 2 получаем y = 2, значит, отмечаем точку (2; 2).
4. Проводим через отмеченные точки прямую и продолжаем её в обе стороны.

Ответ: график — прямая через точки (−2; −2), (0; 0) и (2; 2).

3. Точка A(a; 4) принадлежит графику функции y = x. Найдите a. Принадлежит ли этому графику точка B(−2; 1)?

Условие принадлежности можно проверить подстановкой координат в равенство y = x. Для точки A неизвестна первая координата, но известно, что она должна совпадать со второй. У точки B обе координаты известны, поэтому достаточно сравнить их.

1. Для точки A координата x равна a, а координата y равна 4.
2. Так как точка принадлежит графику, координаты равны: a = 4.
3. Для точки B сравним x = −2 и y = 1. Они не равны, значит, точка не удовлетворяет формуле y = x.

Ответ: a = 4; точка B(−2; 1) графику не принадлежит.

Типичные ошибки

Первая ошибка — записывать координаты точки в порядке (y; x), например указывать значение функции первым. Так иногда делают, потому что в формуле сначала видят y, но запись точки на плоскости всегда начинается с x. Проверяй себя: сначала поставь абсциссу, затем ординату, а потом сверь пару с исходными данными.

Вторая ошибка — отметить точки из таблицы и закончить построение, не проведя прямую. Таблица содержит лишь несколько удобных примеров, а функция определена для всех действительных x. Поэтому точки графика не ограничиваются выбранными числами. Проверь себя: если указаны только отдельные точки, добавь проходящую через них прямую.

Третья ошибка — при отрицательном x записать положительное y. Это может произойти, если не перенести знак аргумента при подстановке. Формула y = x сохраняет и значение, и знак, поэтому при x < 0 число y тоже отрицательно. Проверь вычисление подстановкой: например, x = −2 даёт y = −2.

Четвёртая ошибка — решать, принадлежит ли точка графику, только по тому, положительны или отрицательны её координаты. Для принадлежности этого недостаточно: требуется равенство x и y. Например, координаты −2 и 1 имеют разные знаки, но решающим является то, что они не равны. Подставь обе координаты в y = x и сравни их.

Связь с другими темами

Для работы с функцией y = x нужно уметь отмечать точки по координатам на плоскости и определять координаты уже отмеченной точки. Это помогает переходить от вычислений к графику и обратно. Если точка задана, правило функции позволяет проверить, подходят ли её координаты.

Функция y = x — пример линейной функции. Её график и свойства пригодятся при изучении других линейных функций, где зависимость задаётся иначе, а также при преобразованиях графиков. Сравнивая их с прямой y = x, проще понять, как меняется расположение графика.

Что запомнить

• Функция y = x каждому числу x ставит в соответствие то же число.
• Область определения функции — все действительные числа.
• График функции y = x — прямая.
• График проходит через начало координат.
• Каждая точка графика имеет равные координаты.
• При x < 0 значение y отрицательно, при x > 0 — положительно.