§ 2. Функции у = х, у = х^2, y = 1/x

Определения и обозначения

Функция y = x означает: каждому допустимому значению x соответствует такое же значение y. Например, при x = −2 получаем y = −2, при x = 0 — y = 0, при x = 3 — y = 3. Такая запись нужна, чтобы быстро находить пары координат для построения графика.

Функция y = x² задаёт значение функции как квадрат аргумента. Например, если x = −3, то y = (−3)² = 9, а если x = 2, то y = 2² = 4. Формула показывает, что знак x после возведения в квадрат не сохраняется.

Функция y = 1/x означает, что значение функции равно единице, делённой на аргумент. Например, при x = 2 получаем y = ½, а при x = −4 — y = −¼. Аргумент x не может быть равен нулю, потому что деление на ноль невозможно.

График функции — это множество точек координатной плоскости с координатами (x; y), где y является значением функции при данном x. Чтобы получить такие точки, выбирают значения x и вычисляют соответствующие y. По расположению точек можно увидеть свойства функции.

Как это устроено

Для функции y = x составим таблицу: x = −2, −1, 0, 1, 2, а y = −2, −1, 0, 1, 2. Получившиеся точки (−2; −2), (−1; −1), (0; 0), (1; 1), (2; 2) лежат на одной прямой. Прямая проходит через начало координат, потому что при x = 0 значение y тоже равно нулю.

Для y = x² можно взять значения x = −2, −1, 0, 1, 2. Тогда значения y равны 4, 1, 0, 1, 4 соответственно. Одинаковый результат появляется потому, что квадрат противоположных чисел совпадает: (−x)² = x². Поэтому точки с абсциссами x и −x расположены симметрично относительно оси y.

Если отметить точки таблицы для y = x² и соединить их плавной линией, получится парабола. Самое маленькое значение квадрата равно нулю, поэтому нижняя точка графика — (0; 0), то есть его вершина находится в начале координат. При удалении от нуля в любую сторону квадрат увеличивается, поэтому обе ветви направлены вверх.

Для y = 1/x возьмём x = −4, −2, −1, 1, 2, 4. Значения y будут соответственно −¼, −½, −1, 1, ½, ¼. При отрицательных x значение тоже отрицательно, а при положительных x — положительно, поэтому точки располагаются в третьей и первой четвертях. Нулевой аргумент недопустим, из-за чего ветви не соединяются около начала координат и не пересекают оси.

Сравнивая графики, можно читать свойства без новых вычислений. У прямой y = x значения растут вместе с x, у параболы y = x² сначала уменьшаются до нуля, а затем увеличиваются, а у y = 1/x при увеличении x на каждом промежутке своей области определения значения уменьшаются. Симметрия также различается: прямая и гипербола симметричны относительно начала координат, а парабола — относительно оси y.

Свойства функций y = x, y = x² и y = 1/x

Таблица помогает быстро сравнить функции по одинаковым признакам. Область определения показывает, какие x разрешено подставлять, а множество значений — какие y могут получиться. Для проверки знака и поведения функции достаточно посмотреть на соответствующие строки и подтвердить вывод несколькими точками.

Разбор задач

Задача 1

Условие: вычислить значения y = x и y = x² при x = −3, 0 и 2, затем отметить полученные точки на координатной плоскости. Сначала нужно использовать каждое значение x в первой формуле, а затем — во второй. После этого пары чисел записывают как координаты точек.

1. Для y = x: при x = −3 получаем y = −3, при x = 0 — y = 0, при x = 2 — y = 2.
2. Точки прямой: (−3; −3), (0; 0), (2; 2).
3. Для y = x²: (−3)² = 9, 0² = 0, 2² = 4.
4. Точки параболы: (−3; 9), (0; 0), (2; 4).
5. На координатной плоскости отмечаем обе группы точек разными условными обозначениями.

Ответ: для y = x получены точки (−3; −3), (0; 0), (2; 2); для y = x² — точки (−3; 9), (0; 0), (2; 4).

Задача 2

Условие: построить график y = 1/x для x = −4, −2, −1, 1, 2, 4 и определить координатные четверти. В этой задаче нельзя добавлять x = 0, поскольку формула в нуле не имеет смысла. Для каждого разрешённого аргумента вычислим обратное ему число.

1. При x = −4, −2, −1 получаем y = −¼, −½, −1.
2. При x = 1, 2, 4 получаем y = 1, ½, ¼.
3. Отмечаем точки (−4; −¼), (−2; −½), (−1; −1), (1; 1), (2; ½), (4; ¼).
4. Точки с отрицательными координатами лежат в III четверти, а точки с положительными координатами — в I четверти.
5. Соединяем точки плавными ветвями, не проводя линию через начало координат.

Ответ: график расположен в I и III координатных четвертях; значение x = 0 в таблицу не включается.

Задача 3

Условие: точка графика y = x² имеет ординату 16. Нужно найти все соответствующие значения x и записать координаты точек. Ордината — это вторая координата точки, значит, подставляем y = 16 в формулу.

1. Получаем уравнение x² = 16.
2. Ищем числа, квадраты которых равны 16: x = 4 и x = −4.
3. Для x = 4 точка имеет координаты (4; 16), а для x = −4 — (−4; 16).
4. Две точки появляются из-за симметрии параболы относительно оси y.

Ответ: x = −4 и x = 4; точки графика — (−4; 16) и (4; 16).

Типичные ошибки

Иногда ноль включают в область определения y = 1/x. Ошибка возникает из-за того, что ноль является обычным числом, но деление на него невозможно. Проверьте себя: подставьте x = 0 и убедитесь, что появляется выражение 1/0.

При отрицательном x у функции y = x² иногда записывают отрицательное y. Так делают, забывая, что квадрат меняет знак отрицательного числа на положительный. Для проверки вычислите квадрат отдельно со скобками: (−3)² = 9.

Решая x² = a при a > 0, записывают только корень √a. Второй корень −√a пропускают, хотя оба числа после возведения в квадрат дают a. Проверка подстановкой в исходное уравнение сразу обнаруживает потерю решения.

Ветви графика y = 1/x иногда соединяют через начало координат. Это неверно, потому что при x = 0 функция не определена, а её график состоит из двух отдельных частей. Оставьте около обеих осей промежуток и убедитесь, что ни одна точка не имеет нулевой координаты.

Связь с другими темами

До изучения функций нужны координатная плоскость, координаты точки, подстановка числа в выражение и построение графика по таблице. Эти навыки позволяют переходить от формулы к точкам без помощи готового рисунка.

Свойства трёх функций пригодятся при преобразовании графиков и решении уравнений и неравенств графическим способом. По пересечениям графиков можно находить решения, а по расположению точек — сравнивать значения.

Функция y = 1/x является простейшим примером обратной пропорциональности. Её график — гипербола, свойства которой понадобятся при изучении дробно-рациональных функций.

Что запомнить

• График функции y = x — прямая, проходящая через начало координат.
• График y = x² — парабола с вершиной в начале координат.
• Для функции y = x² значения при x и −x одинаковы.
• Функция y = 1/x определена при всех x, кроме нуля.
• График y = 1/x состоит из двух ветвей и не пересекает координатные оси.
• При решении x² = a, где a > 0, учитывают два корня: √a и −√a.