"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
График функции — это множество точек на координатной плоскости, каждая из которых показывает связь между аргументом и значением функции. Его используют, чтобы наглядно представить зависимость, увидеть её форму и решать задачи по координатам. Точку графика записывают как (x; f(x)): аргумент ставят на первое место, а значение функции — на второе. Чтобы проверить точку, достаточно подставить её абсциссу в формулу.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Координатная плоскость — система двух взаимно перпендикулярных координатных осей, на которой изображают точки. Горизонтальную ось обычно обозначают x, вертикальную — y. Она нужна, чтобы каждому набору из двух чисел поставить в соответствие точку и наглядно показать зависимость величин.
График функции — множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых принадлежат области определения функции, а ординаты равны соответствующим значениям функции. Абсцисса — первая координата точки, ордината — вторая. Это определение объясняет, почему график показывает все допустимые пары аргумента и значения, а не произвольный набор точек.
Точка графика функции — точка с координатами (x; f(x)), где x допустим для функции. Здесь f(x) означает значение функции при выбранном аргументе x. Запись помогает не перепутать координаты: сначала указывают аргумент, затем результат вычисления функции.
Принадлежность точки графику — условие, что для точки (a; b) выполняется равенство b = f(a). Буквы a и b обозначают уже заданные координаты, которые проверяют по формуле функции. Это условие позволяет определить, лежит ли точка на графике, даже если сам график не построен.
Для каждого допустимого значения x вычисляют f(x) и получают пару чисел (x; f(x)); эта пара задаёт точку на координатной плоскости. Так происходит потому, что функция каждому допустимому аргументу ставит в соответствие ровно одно значение. Поэтому одной выбранной абсциссе соответствует одна ордината, а точка на плоскости собирает их вместе.
Координаты точки записывают как (x; f(x)), потому что две координаты отвечают за разные части зависимости. Первая показывает, какое значение аргумента выбрали, а вторая — какой результат функция ему поставила в соответствие. Если поменять их местами, получится другая точка, которая обычно не описывает ту же пару «аргумент — значение».
Чтобы построить график по формуле или таблице, выбери несколько допустимых x, вычисли соответствующие f(x) и отметь точки. Эти точки показывают, где проходит график, но сами по себе не всегда раскрывают его форму. Соединять их линией следует только тогда, когда характер функции подсказывает, что между отмеченными значениями есть соответствующие точки; иначе линия может исказить график.
При проверке точки (a; b) подставляют её абсциссу a в формулу и сравнивают результат с ординатой b. Такой способ работает, потому что у любой точки графика ордината обязана быть значением функции при её абсциссе. Если f(a) = b, точка подходит; если значения различаются, она графику не принадлежит.
Точки графика нельзя выбирать произвольно: каждая должна соответствовать правилу функции и допустимому значению аргумента. Иначе точка не будет описывать зависимость, заданную формулой. Например, пара с верной ординатой, но недопустимой абсциссой тоже не входит в график, даже если кажется подходящей.
Для функции y = x², например, при x = −2 получаем y = 4, а при x = 2 — тоже y = 4. Поэтому на графике есть точки (−2; 4) и (2; 4), расположенные симметрично относительно оси y. По нескольким таким парам можно увидеть форму графика, но для точного построения учитывают саму зависимость.
При построении полезно следить и за масштабом координатных осей: одинаковые расстояния должны соответствовать одинаковым изменениям значений. Иначе точки окажутся расположены неверно относительно друг друга. После нанесения каждой пары можно отдельно проверить её подстановкой в формулу.
Если функция задана таблицей, значения x уже выбраны, а соответствующие значения функции указаны рядом. Каждая строка таблицы даёт готовую пару для координатной плоскости. Однако в таблице могут быть не все значения аргумента, поэтому по ней не всегда можно определить весь график без дополнительных сведений.
График функции показывает зависимость в целом, а не только результаты отдельных вычислений. Его точки должны одновременно соблюдать два условия: аргумент допустим, а ордината равна значению функции. Именно поэтому графическое изображение связывает формулу, таблицу значений и координаты.
В графике y = x² значения функции не бывают отрицательными, потому что квадрат любого числа неотрицателен. Поэтому точки располагаются на оси x или выше неё. Это простой пример того, как формула помогает проверить, соответствует ли нанесённая линия свойствам функции.
При выборе значений для таблицы удобно брать такие x, для которых вычисления просты, например целые числа. Но удобство вычисления не отменяет проверки области определения. Если формула не имеет смысла при некотором x, точку с такой абсциссой строить нельзя.
Количество точек выбирают с учётом задачи: для проверки одной пары достаточно одной подстановки, а для рисунка графика обычно нужны несколько значений. Чем точнее требуется передать форму, тем внимательнее подбирают значения и оценивают поведение функции между ними. Нельзя считать, что соединение любых соседних точек автоматически даёт точный график.
Таблица показывает два разных действия: построение точки по заданному x и проверку уже заданной точки. Сначала выясни, что именно известно, затем выполни действие из среднего столбца. В последнем столбце указан вывод, который следует из вычисления.
| Что известно | Что проверить или вычислить | Вывод |
|---|---|---|
| Функция y = f(x) и значение x | Пара (x; f(x)) | Координаты точки графика |
| Точка (a; b) | Сравнить b и f(a) | Точка принадлежит графику, если b = f(a) |
В первой строке данных вычисляют значение функции и получают координаты точки. Во второй строке проверяют, совпадает ли заданная ордината с результатом подстановки абсциссы. Перед вычислением убедись, что значение аргумента допустимо.
Задача 1. Для функции y = 2x − 1 найдите координаты точки графика при x = 3. Нужно найти не обе координаты заново: абсцисса уже дана, остаётся вычислить соответствующее значение функции. Затем запишем их в правильном порядке.
Ответ: (3; 5). Порядок координат важен: число 3 — выбранное значение аргумента, а число 5 — результат вычисления функции. Подстановка подтверждает, что полученная точка соответствует формуле.
Задача 2. Определите, принадлежит ли точка (−2; 5) графику функции y = x² + 1. Для проверки используем абсциссу точки как аргумент и сравним найденное значение с её ординатой. Это надёжнее, чем судить по виду координат или угадывать положение на графике.
Ответ: точка (−2; 5) принадлежит графику. Минус при возведении в квадрат относится ко всему числу −2, поэтому (−2)² = 4. Равенство найденного значения ординате и есть условие принадлежности.
Задача 3. Постройте график функции y = x² для x от −2 до 2, составив таблицу значений. Сначала выберем целые значения аргумента в указанном промежутке, затем вычислим квадрат каждого числа. Важно проверить пары и отметить, что одинаковые квадраты при противоположных x дают симметричные точки.
Ответ: график строится по указанным пяти точкам и имеет форму чаши с вершиной в точке (0; 0). Точки попарно симметричны относительно оси y, что согласуется с равенством (−x)² = x². Таблица даёт опорные точки, а формула объясняет, как вести линию между ними.
Первая ошибка — поменять местами координаты и записать точку как (f(x); x). Так бывает, если забыть, что координатную пару читают слева направо: сначала абсцисса, затем ордината. Проверь себя: первое число должно быть выбранным x, а второе — результатом вычисления f(x).
Вторая ошибка — включить точку для значения x, которое не входит в область определения. Иногда ученик вычисляет по привычке, не проверив, имеет ли формула смысл при этом аргументе. Перед построением проверь допустимость x; если значение запрещено, соответствующую точку добавлять нельзя.
Третья ошибка — считать, что любая отмеченная точка принадлежит графику. Её могут допустить, если координаты выглядят правдоподобно или близки к нанесённым точкам, но этого недостаточно. Подставь абсциссу в формулу и сравни результат с ординатой: должно выполняться y = f(x).
Четвёртая ошибка — без проверки соединять отмеченные точки прямыми. Так поступают, предполагая, что между точками функция меняется по прямой, хотя формула может задавать изгиб или отдельные значения. Сверь линию с правилом функции и её поведением; если соединение добавляет точки, не удовлетворяющие формуле, оно неверно.
Для изучения графика нужны понятия функции, аргумента, значения функции и области определения. Именно область определения показывает, какие абсциссы разрешено использовать, а правило функции задаёт соответствующие ординаты. Без этих сведений нельзя ни правильно построить точки, ни проверить их принадлежность.
Графики пригодятся при изучении свойств функций: по ним удобно замечать особенности изменения значений. Они также помогают решать уравнения графическим способом и анализировать зависимости между величинами. Поэтому умение связывать формулу с координатами становится основой для дальнейших тем алгебры.
Что называют графиком функции?
Графиком функции называют множество точек, абсциссы которых входят в область определения, а ординаты равны значениям функции при этих абсциссах. Иными словами, каждая точка показывает пару: выбранное значение x и соответствующее ему значение f(x).
Почему координаты точки графика записывают как (x; f(x))?
В координатной паре первым указывают значение аргумента x — это абсцисса точки. Вторым записывают f(x), то есть значение функции и ординату точки.
Как проверить, принадлежит ли точка графику?
Для точки (a; b) подставьте a в формулу функции и найдите f(a). Точка принадлежит графику тогда и только тогда, когда полученное значение равно b.
Можно ли построить график только по нескольким точкам?
По нескольким точкам можно построить приближённое изображение графика, если известно поведение функции между ними. Но сами точки не всегда показывают всю форму графика, поэтому их число и выбор зависят от функции и требуемой точности.
Нужно ли соединять все точки графика линией?
Не всегда: соединять точки можно, только если это соответствует характеру функции. Например, у функции, заданной лишь для отдельных значений x, график может состоять из отдельных точек.
1.6. Понятие графика функции
