"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.
Неравенства помогают сравнивать числа и находить все значения неизвестного, при которых заданное условие верно. Чтобы решить неравенство первой степени, преобразуют его так, чтобы неизвестное осталось с одной стороны, а число — с другой. При этом особенно важно учитывать знак коэффициента: деление на отрицательное число меняет направление неравенства. Ответ можно записать неравенством, промежутком или отметить на числовой прямой.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое неравенство — сравнение двух чисел с помощью знаков <, >, ≤ или ≥. Знаки < и > называют строгими: они не допускают равенства сравниваемых чисел. Знаки ≤ и ≥ нестрогие, потому что допускают и равенство; это различие определяет, включается ли граничное число в ответ.
Решение неравенства с одним неизвестным — значение неизвестного, при котором неравенство становится верным. Например, для x > 2 подходят 3 и 10, но не подходит 1. Это понятие нужно, чтобы понимать ответ не как одно число, а как множество всех допустимых значений.
Равносильные неравенства — неравенства, имеющие одно и то же множество решений. Например, x + 4 > 7 и x > 3 равносильны: каждое выполняется при одних и тех же значениях x. Равносильные преобразования позволяют менять вид неравенства, не меняя ответа.
Неравенство первой степени с одним неизвестным — неравенство, которое после преобразований можно записать в виде ax + b > 0, ax + b ≥ 0, ax + b < 0 или ax + b ≤ 0. Здесь x — неизвестное, а a и b — числа. Такой вид удобен тем, что решение сводится к сравнению x с числом, если a не равно нулю.
Числовые неравенства позволяют установить, какое из двух чисел расположено левее, а какое правее на числовой прямой. Если a < b, то точка a находится левее точки b; это и есть наглядный смысл знака сравнения. Так можно сравнивать не только отдельные числа, но и выражения, если сначала выяснить их значения или преобразовать их.
К обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число: расстояние между сравниваемыми числами при этом не меняется, поэтому сохраняется и их порядок. Вычитание числа — то же самое, что прибавление противоположного числа. Умножение на положительное число растягивает числовую прямую, не меняя расположения точек; умножение на отрицательное отражает её относительно нуля и меняет порядок. Деление подчиняется тому же правилу, поскольку это умножение на обратное число.
Чтобы решить неравенство первой степени, собирают слагаемые с x в одной части, а числа — в другой, затем приводят подобные слагаемые. Эти действия опираются на свойства сравнений и дают равносильное неравенство. Когда остаётся выражение вида ax > b, при a ≠ 0 делят обе части на a и получают сравнение x с числом b/a.
Направление итогового знака зависит от коэффициента a. Если a > 0, деление сохраняет порядок, поэтому знак не меняется; если a < 0, порядок обращается и знак нужно перевернуть. При a = 0 делить нельзя: выражение с неизвестным превращается в число, поэтому проверяют, верно ли полученное числовое неравенство. В первом случае подходит любое x, во втором решений нет.
Множество решений можно записать неравенством, промежутком и показать на числовой прямой. Для строгого условия x > a точка a не входит в ответ: используют круглую скобку и пустой кружок. Для x ≥ a граница включена: ставят квадратную скобку и закрашенную точку. Направление луча выбирают по знаку: при x > a он идёт вправо, при x < a — влево.
В таблице собраны действия, которые помогают преобразовывать неравенства, и условия, от которых зависит знак. Пользуйтесь ею после каждого шага решения: сначала определите действие и знак числа, на которое умножаете или делите. При переносе слагаемых знак сравнения сохраняется, потому что перенос равносилен прибавлению противоположного числа.
| Действие с обеими частями | Условие | Что происходит со знаком | Пример результата |
|---|---|---|---|
| Прибавление или вычитание одного числа | Любое число | Знак сохраняется | Если a < b, то a + c < b + c |
| Умножение или деление на положительное число | Множитель или делитель больше нуля | Знак сохраняется | Если a < b и c > 0, то ac < bc |
| Умножение или деление на отрицательное число | Множитель или делитель меньше нуля | Знак меняется на противоположный | Если a < b и c < 0, то ac > bc |
| Переход от сравнения выражений к решению линейного неравенства | Нужно учитывать знак коэффициента при неизвестном | При делении на отрицательный коэффициент знак меняется | Из ax > b при a < 0 следует x < b/a |
Дроби удобно сравнить, приведя их к общему положительному знаменателю. Знаменатель 12 подходит для обеих дробей, а умножение на положительное число не меняет знак сравнения. Поэтому достаточно сравнить получившиеся числители.
Приводим дроби к знаменателю 12: 3/4 = 9/12, 5/6 = 10/12.
Сравниваем числители: 9 < 10. При одинаковых положительных знаменателях большей будет дробь с большим числителем.
Записываем результат: 9/12 < 10/12, значит, 3/4 < 5/6.
Ответ: 3/4 < 5/6.
Нужно оставить x в одной части, а числа — в другой. Прибавление числа к обеим частям сохраняет знак, а деление на положительное число также не требует его менять. Получившееся условие укажет луч на числовой прямой.
Прибавляем 5 к обеим частям: 3x − 5 + 5 < 7 + 5, поэтому 3x < 12.
Делим обе части на 3. Число 3 положительное, знак сохраняется: x < 4.
Все числа меньше 4 входят в ответ, а само число 4 не входит из-за строгого знака. На прямой ставим в 4 пустой кружок и выделяем луч влево.
Ответ: x < 4, или (−∞; 4).
Сначала удобно устранить знаменатели, умножив обе части на 4 — положительное число. Затем собираем слагаемые с x и отдельно числа. На последнем шаге коэффициент при x окажется отрицательным, поэтому знак придётся изменить при делении.
Умножаем обе части на 4: 8 − (3x + 1) ≥ 2(x − 5). Здесь знак сохраняется, поскольку 4 > 0.
Раскрываем скобки: 8 − 3x − 1 ≥ 2x − 10, то есть 7 − 3x ≥ 2x − 10.
Прибавляем 3x и 10 к обеим частям: 17 ≥ 5x. Переписываем: 5x ≤ 17.
Делим на 5, положительный коэффициент: x ≤ 17/5. Граничное число входит в ответ, потому что неравенство нестрогое.
Ответ: x ≤ 17/5, или (−∞; 17/5].
При умножении или делении обеих частей на отрицательное число иногда оставляют прежний знак. Так теряется равносильность: например, из 2 < 5 после умножения на −1 получается −2 > −5. Перед таким действием отметьте знак множителя и проверьте результат на простом числовом примере.
Перенося слагаемое, могут поменять знак неравенства вместе со знаком слагаемого. Перенос означает прибавление противоположного числа к обеим частям, а это не обращает порядок. Меняется знак самого слагаемого, не знак сравнения; подставьте одно и то же число в исходное и преобразованное выражения, чтобы проверить шаг.
Граничную точку иногда включают в ответ при строгом знаке. Это неверно: условие x > a не выполняется при x = a, как и x < a. Сверьте знак и скобку: для < или > нужны круглые скобки и пустой кружок, для ≤ или ≥ — квадратные и закрашенная точка.
Можно записать x > a вместо x < a, не проверив знак коэффициента, на который делят. Такая ошибка особенно вероятна, когда коэффициент отрицателен и нужно перевернуть знак. Перед делением установите знак коэффициента, а после решения подставьте в исходное неравенство число из ответа и число, которое должно не подходить.
Для работы с неравенствами нужны навыки сравнения рациональных чисел, действий с отрицательными числами и преобразования выражений. Если эти действия вызывают затруднение, полезно сначала повторить их: ошибки в арифметике часто меняют весь ответ.
Числовой промежуток и числовая прямая помогают наглядно показать множество решений. Круглые и квадратные скобки передают, входит ли граница в это множество, а направление луча показывает, какие числа подходят.
Линейные неравенства становятся основой для решения систем неравенств и квадратных неравенств. Они также нужны в задачах с ограничениями, где требуется найти значения, удовлетворяющие нескольким условиям.
Почему при делении неравенства на отрицательное число знак меняется?
Умножение или деление на отрицательное число меняет порядок чисел на противоположный. Например, 2 < 5, но после умножения на −1 получаем −2 > −5. Поэтому при таком действии знак неравенства нужно перевернуть.
Нужно ли менять знак неравенства, когда слагаемое переносят в другую часть?
Нет, при переносе слагаемого знак неравенства не меняют. Перенос означает прибавление к обеим частям противоположного числа, а прибавление одного числа сохраняет знак сравнения. Меняется знак самого переносимого слагаемого.
Как понять, входит ли граничное число в ответ?
При знаках ≤ и ≥ граничное число входит в множество решений. При строгих знаках < и > оно не входит. Например, x ≥ 3 задаёт промежуток [3; +∞), а x > 3 — (3; +∞).
Что делать, если коэффициент при неизвестном равен нулю?
Если после преобразований коэффициент при x равен нулю, неизвестное исчезает и остаётся числовое неравенство. Если оно верно, решением будет любое действительное число; если неверно — решений нет.
Как записать решение неравенства на числовой прямой?
Сначала отметьте граничное число. Пустой кружок означает, что точка не входит в ответ, закрашенный — что входит; затем выделите луч или отрезок в нужную сторону. Например, x < 2 изображают пустым кружком в точке 2 и лучом влево.
§ 3. Числовые неравенства и неравенства, первой степени с одним неизвестным
