5. Операции над функциями. Композиция функций

Определения и обозначения

Сумма функций — функция, для которой (f + g)(x) = f(x) + g(x). В каждой точке берут значения обеих функций при одном аргументе и складывают их. Это позволяет заменить две зависимости одной общей функцией.

Произведение функций задаётся формулой (fg)(x) = f(x)g(x). Значения f и g с одинаковым аргументом перемножаются. Такая запись удобна, когда величина зависит сразу от двух функциональных множителей.

Частное функций — функция (f/g)(x) = f(x)/g(x). Она существует только там, где определены обе функции и g(x) ≠ 0. Ограничение на знаменатель нужно, потому что деление на нуль не имеет смысла.

Композиция функций — последовательное применение двух функций: (f ∘ g)(x) = f(g(x)). Сначала действует g, поэтому её называют внутренней, затем f — внешней. Композиция описывает ситуацию, когда результат одного преобразования передают следующему.

Как это устроено

Операции над функциями определяют через значения при одном и том же аргументе, потому что функция сопоставляет каждому допустимому x единственное значение. Если взять разные аргументы, получится уже другая задача и исчезнет единая зависимость от x. Поэтому в формулах сначала вычисляют f(x) и g(x), а затем выполняют обычное действие над полученными числами.

Область определения суммы, разности и произведения — пересечение областей определения исходных функций. Причина проста: для вычисления результата в точке x нужны оба числа, f(x) и g(x). Если хотя бы одна функция в этой точке не существует, невозможно сложить, вычесть или перемножить значения.

У частного условие строже: кроме существования f(x) и g(x), требуется g(x) ≠ 0. Нулевая величина в знаменателе запрещает деление, даже если числитель определён. Поэтому из общей области определения дополнительно удаляют все корни уравнения g(x) = 0.

Для композиции сначала x должен быть допустимым аргументом внутренней функции g. Затем её результат g(x) должен попасть в область определения внешней функции f, ведь именно он становится аргументом f. Поэтому недостаточно просто пересечь области определения f и g: проверяют ещё и условие для значения g(x). Порядок здесь существенен, так как f(g(x)) и g(f(x)) обычно дают разные выражения.

Операции над функциями и композиция

В таблице сначала найдите способ вычисления значения, затем проверьте ограничения. Для композиции особенно важна последняя строка: порядок функций читают справа налево.

Разбор задач

1. Операции над двумя функциями

Даны f(x) = x² − 1 и g(x) = 2x + 3. Нужно выполнить четыре операции, а затем найти их значения при x = 1. Обе функции определены для всех действительных x, но в частном отдельно проверим знаменатель.

1. (f + g)(x) = x² − 1 + 2x + 3 = x² + 2x + 2.
2. (f − g)(x) = x² − 1 − (2x + 3) = x² − 2x − 4.
3. (fg)(x) = (x² − 1)(2x + 3).
4. (f/g)(x) = (x² − 1)/(2x + 3), x ≠ −3/2. При x = 1 получаем 5, −5, 10 и 0 соответственно.

Ответ: сумма x² + 2x + 2, разность x² − 2x − 4, произведение (x² − 1)(2x + 3), частное (x² − 1)/(2x + 3); значения при x = 1: 5, −5, 10, 0.

2. Область определения композиции

Пусть f(x) = √(2 − x), g(x) = x² − 1. Внешняя функция f требует, чтобы её аргумент не превышал 2. Поэтому подставляем g в f и затем проверяем это условие.

1. (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = √(2 − (x² − 1)) = √(3 − x²).
2. Для корня нужно 3 − x² ≥ 0, откуда −√3 ≤ x ≤ √3.

Ответ: (f ∘ g)(x) = √(3 − x²), область определения [−√3; √3].

3. Сравнение двух композиций

Даны f(x) = 1/(x − 2) и g(x) = x² + 1. Рассчитаем композиции в обоих порядках, потому что внутренней функцией каждый раз будет другая функция.

1. f ∘ g = 1/(g(x) − 2) = 1/(x² − 1), поэтому x ≠ −1 и x ≠ 1.
2. g ∘ f = (1/(x − 2))² + 1. Здесь x ≠ 2, так как исходная функция f не определена при x = 2.
3. Полученные формулы различны, как различны и их области определения.

Ответ: f ∘ g = 1/(x² − 1), x ∈ ℝ \ {−1; 1}; g ∘ f = 1/(x − 2)² + 1, x ≠ 2. Композиция не является переместительной.

Типичные ошибки

Запись (f ∘ g)(x) как f(x) ∘ g(x) неверна: знак композиции относится к функциям, а не к их значениям. Ошибку вызывает чтение слева направо. Проверьте себя, раскрыв определение: должно получиться именно f(g(x)).

В частном иногда оставляют точку, где знаменатель равен нулю. Причина — внимание к формуле числителя без проверки делителя. Решите уравнение g(x) = 0 и удалите найденные корни из области определения.

Область композиции нельзя находить простым пересечением областей f и g. Нужно проверить, допустимо ли значение g(x) для функции f. Полезно сначала выписать условие для g, а затем подставить g(x) в ограничения f.

Нельзя без проверки считать f ∘ g и g ∘ f одинаковыми. Переместительность сложения и умножения на композицию не переносится. Составьте обе формулы отдельно и сравните также их области определения.

Связь с другими темами

Для операций над функциями нужны умение находить область определения и выполнять алгебраические преобразования. Тема опирается на понимание функции как соответствия между аргументом и значением, а также на подстановку выражений. Композиция пригодится при изучении обратных функций, преобразований графиков, сложных функций и правила дифференцирования сложной функции.

Что запомнить

• Операции над функциями выполняются над их значениями при одном и том же аргументе.
• Область определения суммы, разности и произведения — общая часть областей определения исходных функций.
• В частном функций знаменатель не может быть равен нулю.
• В композиции f ∘ g сначала применяют g, затем f.
• Для композиции значение внутренней функции должно принадлежать области определения внешней.
• Композиция функций в общем случае не является переместительной.