3. Кусочное задание функций

Определения и обозначения

Кусочно заданная функция — функция, заданная разными формулами на разных частях своей области определения. Например, одно правило может действовать при x < 1, а другое — при x ≥ 1. Это обозначение позволяет описать зависимость, которая меняется в разных условиях.

Кусок функции — часть области определения, на которой функция задаётся одной формулой. Куски могут быть промежутками, лучами или отдельными точками. Понятие нужно, чтобы рассматривать и вычислять каждый участок функции отдельно.

Точка разбиения — граница, в которой меняется формула задания функции. Ею может быть, например, число 0 или 2. В такой точке проверяют, какая формула действует и соединяются ли соседние части графика.

Условие выбора формулы — неравенство или промежуток, показывающий, какую формулу нужно использовать при данном значении аргумента. Условие записывают рядом с формулой: например, x ≤ 0. Оно помогает не перепутать правила при вычислении и построении графика.

Как это устроено

Область определения разбивают на промежутки, когда одна формула не описывает всю зависимость одинаково. Например, модуль меняет вид в зависимости от знака выражения, а стоимость или скорость могут меняться после достижения определённого порога. Для каждого участка выбирают простое правило, поэтому сложную зависимость удобно анализировать по частям.

Условия выбора формул должны охватывать все допустимые значения аргумента: ни одно значение x не должно остаться без правила. Одновременно условия не должны давать одному x две разные формулы, иначе функция получит два значения. Обычно границу включают в один промежуток, а в соседнем используют строгий знак.

Знак на границе имеет практическое значение. Условия x < 1 и x ≥ 1 распределяют число 1 между двумя кусками, а условия x < 1 и x > 1 оставляют его без формулы. Если же написать x ≤ 1 и x ≥ 1, точка 1 попадёт в оба куска, и задание перестанет однозначно задавать функцию.

Чтобы найти значение функции, сначала сравнивают данный аргумент с границами промежутков. Затем выбирают единственную подходящую формулу и только после этого выполняют подстановку и вычисления. Нельзя сначала подставлять число во все формулы и выбирать результат наугад: одна из формул может быть неприменима.

График складывается из частей графиков заданных формул, причём каждая часть оставляется только на своём промежутке. В точке, не входящей в кусок, ставят незакрашенную точку, а входящую точку отмечают закрашенной. Если значения слева, справа и в самой точке согласуются, график может быть непрерывным; иначе появляется разрыв.

Строение кусочного задания функции

Таблица помогает проверить, из каких элементов состоит запись. При чтении сначала находите условие, затем используете формулу из той же строки. Отдельно проверяйте границы: именно они чаще всего определяют значение функции и вид графика.

Разбор задач

Задача 1

Для функции f(x) = { x + 3 при x < 1; 2x при x ≥ 1 } найдём f(−2), f(1) и f(4). У каждого числа нужно сначала проверить условие, потому что формулы действуют на разных промежутках.

1. −2 < 1, поэтому используем f(x) = x + 3: f(−2) = −2 + 3 = 1.
2. 1 ≥ 1, поэтому используем вторую формулу: f(1) = 2 · 1 = 2.
3. 4 ≥ 1, значит, f(4) = 2 · 4 = 8.

Ответ: f(−2) = 1, f(1) = 2, f(4) = 8.

Задача 2

Запишем кусочную формулу для |x − 2| и найдём значения при x = 0 и x = 5. Выражение под модулем меняет знак при x = 2, поэтому именно это число является точкой разбиения.

1. При x < 2 выражение x − 2 отрицательно, значит, |x − 2| = −(x − 2) = 2 − x.
2. При x ≥ 2 выражение неотрицательно, поэтому |x − 2| = x − 2.
3. Получаем |x − 2| = { 2 − x при x < 2; x − 2 при x ≥ 2 }. Для x = 0 используем первую формулу: 2 − 0 = 2.
4. Для x = 5 подходит вторая формула: 5 − 2 = 3.

Ответ: |x − 2| = { 2 − x при x < 2; x − 2 при x ≥ 2 }; значения равны 2 и 3.

Задача 3

Построим график f(x) = { x + 2 при x ≤ 0; 2 − x при 0 < x ≤ 2; x − 2 при x > 2 } и проверим точки 0 и 2. Каждую прямую чертим только там, где разрешает её условие.

1. На x ≤ 0 строим часть y = x + 2 и закрашиваем точку (0; 2).
2. На 0 < x ≤ 2 строим часть y = 2 − x: точка при x = 0 незакрашенная, а точка (2; 0) закрашенная.
3. На x > 2 строим часть y = x − 2; точка (2; 0) для этой формулы незакрашенная, но она уже закрашена второй формулой.
4. В x = 0 слева значение стремится к 2, справа также к 2, и f(0) = 2. В x = 2 слева и справа получаем 0, причём f(2) = 0.

Ответ: в точках x = 0 и x = 2 разрывов нет; части графика соединяются непрерывно.

Типичные ошибки

Подстановка без проверки условия. Ученик выбирает первую формулу, потому что она сразу видна в записи. Проверяйте неравенство для данного x до подстановки.

Пропуск или двойное включение границы. Это происходит, когда не замечают разницу между строгим и нестрогим знаками. Проверьте каждую точку разбиения: она должна входить ровно в один кусок.

Построение формулы на всей прямой. Так появляется лишняя часть графика, которая не относится к функции. После построения каждой линии мысленно ограничьте её указанным промежутком.

Вывод о непрерывности по виду графика. Близость линий на рисунке не заменяет вычислений и может вводить в заблуждение. Сравните значение в точке и односторонние значения слева и справа.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны навыки работы с промежутками, неравенствами, модулем и подстановкой чисел в формулы. Кусочно заданные функции опираются на построение графиков элементарных функций и чтение координатной плоскости. Позже они встретятся при изучении параметров, пределов, производной и математических моделей с разными режимами работы.

Что запомнить

• Кусочно заданная функция использует разные формулы на разных промежутках.
• Сначала находят условие, которому удовлетворяет аргумент, и только потом выбирают формулу.
• Условия кусочного задания должны охватывать всю рассматриваемую область определения.
• В точке разбиения нужно проверить, какая формула задаёт значение функции.
• График строят отдельно на каждом указанном промежутке.
• В точках разбиения график может быть непрерывным или иметь разрыв.