§ 27 Линейная функция, её график и свойства

Определения и обозначения

Линейная функция — функция вида y = kx + b, где x — независимая переменная, а k и b — заданные числа. Независимая переменная может принимать разные значения, и для каждого из них формула задаёт соответствующее значение y. Такая запись помогает описать, как одна величина зависит от другой. Например, при k = 2 и b = 1 получаем функцию y = 2x + 1.

Коэффициент k в записи y = kx + b определяет наклон прямой и направление изменения функции. Если менять x, именно k показывает, насколько меняется y при каждом шаге x на единицу. По знаку k можно быстро понять, идёт ли график вверх или вниз слева направо. Это нужно, чтобы предсказывать поведение функции, не вычисляя много её значений.

Коэффициент b задаёт значение функции при x = 0, поэтому точка пересечения графика с осью y имеет координаты (0; b). Это следует из подстановки нуля: слагаемое kx обращается в ноль, и остаётся y = b. Значит, b позволяет сразу отметить на координатной плоскости одну точку графика. Если b = 0, эта точка — начало координат.

График линейной функции — множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют равенству y = kx + b; это прямая. Каждая точка графика соответствует паре чисел x и y, связанных формулой. Поэтому, чтобы проверить, лежит ли точка на графике, достаточно подставить её координаты в равенство. Понятие графика нужно, чтобы изображать зависимость и сравнивать её значения наглядно.

Как это устроено

Чтобы построить график, выбери два значения x и подставь их в формулу, а затем вычисли соответствующие значения y. Получатся две пары координат, которые нужно отметить на плоскости. Через две различные точки проходит только одна прямая, поэтому их достаточно для построения. Удобные значения x помогают считать без ошибок, например ноль или небольшие целые числа.

При x = 0 слагаемое kx равно нулю, поэтому y = b. Так появляется точка (0; b), через которую обязательно проходит график; она сразу показывает пересечение с осью y. Если b = 0, точка пересечения — (0; 0), то есть начало координат. Это свойство позволяет начать построение с известной точки, не подбирая для неё значение функции заново.

Коэффициент k показывает изменение y при увеличении x на 1, потому что в формуле к каждому изменению x добавляется k таких изменений. Если k положителен, большему x соответствует большее y, и функция возрастает. Если k отрицателен, при росте x значение y уменьшается, поэтому функция убывает. При k = 0 слагаемое с x исчезает, значение y не меняется, а график становится горизонтальной прямой.

У двух функций с одинаковыми коэффициентами k одинаково меняется y при изменении x, значит, их графики имеют один и тот же наклон. Если свободные члены b различаются, прямые проходят через разные точки на оси y и не пересекаются: они параллельны. Если b тоже одинаковы, формулы задают одну и ту же функцию, поэтому графики совпадают. Такое сравнение помогает установить взаимное расположение прямых без построения.

Нуль функции — значение x, при котором значение y равно нулю, то есть график пересекает ось x. Чтобы найти его, нужно решить уравнение kx + b = 0. При k ≠ 0 переносим b и делим на k: x = −b/k. Если k = 0, функция постоянна: при b ≠ 0 она не равна нулю ни при каком x, а при b = 0 равна нулю при всех x.

Свойства функции y = kx + b в зависимости от коэффициентов

Сначала определи знак k: он подскажет направление изменения и вид прямой. Затем используй b, чтобы найти точку пересечения с осью y, а для нуля реши уравнение kx + b = 0. В столбце k = 0 отдельно учитывай значение b, поскольку от него зависит, есть ли у функции нули.

Разбор задач

Постройте график функции y = 2x − 1.

Нужно найти две точки, координаты которых удовлетворяют формуле. Удобно взять x = 0 и x = 1: первое значение сразу показывает пересечение с осью y, а второе легко подставить. Полученные точки отметим на плоскости. Через них проведём прямую и продолжим её в обе стороны.

1. При x = 0 получаем y = 2 · 0 − 1 = −1, значит, первая точка — (0; −1).
2. При x = 1 получаем y = 2 · 1 − 1 = 1, значит, вторая точка — (1; 1).
3. Отмечаем обе точки и проводим через них прямую. Проверка: при увеличении x на 1 значение y выросло на 2, что соответствует k = 2.

Ответ: график — прямая, проходящая через точки (0; −1) и (1; 1).

Определите, возрастает или убывает функция y = −3x + 4, и найдите её нуль.

Направление изменения определим по коэффициенту при x, а нуль найдём из условия y = 0. Свободный член для определения возрастания или убывания не нужен: за это отвечает только k. Для нуля составим уравнение и решим его. В конце можно подставить найденное значение в формулу для проверки.

1. Коэффициент k = −3, он меньше нуля, значит, функция убывает.
2. Приравниваем значение функции к нулю: −3x + 4 = 0.
3. Переносим 4: −3x = −4. Делим обе части на −3 и получаем x = 4/3.
4. Проверяем: −3 · 4/3 + 4 = −4 + 4 = 0.

Ответ: функция убывает; её нуль равен 4/3.

При каком значении m графики функций y = (m − 2)x + 5 и y = 3x − 1 параллельны?

Для параллельности прямых нужны одинаковые коэффициенты при x, потому что они задают наклон. У первой функции этот коэффициент выражен через m, а у второй равен 3. Приравняем коэффициенты и решим полученное уравнение. Затем сравним свободные члены, чтобы убедиться, что прямые не совпадают.

1. Записываем условие равенства наклонов: m − 2 = 3.
2. Прибавляем 2 к обеим частям: m = 5.
3. При m = 5 свободные члены равны 5 и −1. Они различаются, поэтому графики не совпадают, а являются параллельными.

Ответ: m = 5.

Типичные ошибки

Ошибка — считать график отрезком, потому что на рисунке обычно изображена лишь его часть. Но формула определяет функцию для любых допустимых x, поэтому прямая продолжается в обе стороны за пределы координатной сетки. Проверить себя можно, выбрав значение x за краем рисунка: формула всё равно задаёт точку графика. Не ставь конечные точки там, где заканчивается изображение на листе.

Можно перепутать коэффициенты k и b: оба числа стоят в формуле, но отвечают за разное. Коэффициент k определяет изменение и наклон, а b показывает значение при x = 0. Для проверки подставь x = 0: должно получиться y = b. Направление прямой сверяй со знаком именно k.

Некоторые определяют возрастание или убывание по знаку b, хотя свободный член отвечает только за положение пересечения с осью y. Например, изменение b сдвигает прямую вверх или вниз, но не меняет её направление. Чтобы проверить себя, сравни значения функции при x и x + 1: разность равна k. Следовательно, решение зависит от знака k, а не b.

При построении иногда отмечают одну точку или неверно вычисляют её координаты. Через одну точку можно провести сколько угодно прямых, поэтому график определить нельзя; ошибка в y переместит точку и исказит линию. Найди значения функции хотя бы для двух x и проверь подстановкой каждую пару координат. Если есть сомнение, вычисли третью точку: она должна лежать на той же прямой.

Связь с другими темами

Для работы с линейной функцией нужно уметь подставлять числа вместо букв, вычислять значения выражений и отмечать точки на координатной плоскости. Эти навыки помогают строить график и проверять, удовлетворяют ли координаты точки формуле. Позже линейные функции пригодятся при решении уравнений и систем: графики позволяют наглядно искать решения. Они также описывают зависимости, в которых величина изменяется с постоянной скоростью, например стоимость при неизменной цене за единицу.

Что запомнить

• Линейная функция имеет вид y = kx + b.
• График линейной функции — прямая.
• Для построения прямой достаточно двух точек.
• При x = 0 значение функции равно b.
• Знак k определяет, возрастает функция или убывает.
• При одинаковых k графики параллельны или совпадают.

Как это устроено