"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Уравнение с двумя переменными содержит две буквы, например x и y, и связывает их значения равенством. Его решением служит не одно число, а упорядоченная пара: первое значение подставляют вместо первой переменной, второе — вместо второй. Уравнение может иметь несколько решений. Чтобы проверять пары и преобразовывать уравнения, нужно следить, сохраняются ли все решения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение с двумя переменными — это равенство, содержащее две переменные, значения которых могут изменяться. Например, в записи x + y = 5 переменные — x и y, а число 5 задаёт, чему должна равняться их сумма. Такое уравнение описывает связь между двумя числами, а не задаёт для каждой буквы единственное значение.
Решение уравнения с двумя переменными — пара значений переменных, при подстановке которой равенство становится верным. Например, для x + y = 5 пара (2; 3) является решением, потому что 2 + 3 = 5. Это определение помогает отличить подходящие значения от тех, которые уравнение не удовлетворяют.
Пара значений переменных — запись значений в установленном порядке, например (x; y). Первое число относится к x, второе — к y, поэтому перестановка чисел может изменить результат подстановки. Порядок нужен, чтобы точно указать, какое значение получает каждая переменная.
Равносильные уравнения — уравнения с одинаковыми решениями. Например, если при преобразовании из одной записи получилась другая, но ни одна подходящая пара не исчезла и не добавилась, уравнения равносильны. Это понятие позволяет упрощать уравнения и быть уверенным, что их решения не изменились.
Для уравнения с двумя переменными одного числа недостаточно: нужно одновременно указать значение каждой буквы. Поэтому решение записывают парой, а порядок в ней связывают с порядком переменных в записи. Если поменять числа местами, переменные получат другие значения, и равенство может перестать быть верным. Например, в x + 2y = 8 пары (2; 3) и (3; 2) дают разные результаты.
Проверка пары устроена так же, как проверка равенства с числами: значения переменных заменяют числами и выполняют действия. Если левая и правая части после вычислений равны, пара подходит. Если получились разные числа, значит, равенство неверно и эта пара не является решением. Такой способ проверки работает независимо от того, каким путём пара была найдена.
У одного уравнения может быть несколько решений, потому что разные значения переменных способны дать одинаковый результат. Например, в уравнении x + y = 5 сумма равна 5 и для пары (1; 4), и для пары (2; 3). Каждая подходящая пара — отдельное решение. Чтобы найти несколько решений, можно выбрать значение одной переменной, а затем подобрать значение другой так, чтобы равенство сохранилось.
Преобразование уравнения полезно, когда оно делает запись проще, но при этом оставляет те же решения. Например, если обе части равенства разделить на одно и то же ненулевое число, равенство сохранится: из 2x + 2y = 8 получаем x + y = 4. Любая пара, подходящая к первой записи, подходит и ко второй, и наоборот. Поэтому такие уравнения называют равносильными.
При преобразованиях нужно следить, чтобы не потерять решения и не добавить неподходящие пары. Делить можно только на число, которое точно не равно нулю: деление на нуль не определено. Если делитель содержит переменные, его значение зависит от выбранной пары и может обратиться в нуль. Тогда нужно отдельно рассмотреть этот случай, иначе допустимое решение можно пропустить.
| Что рассматриваем | Пример | Что проверить |
|---|---|---|
| Уравнение с двумя переменными | x + y = 5 | Есть ли две переменные и равенство |
| Пара значений переменных | (2; 3) | Первое значение относится к x, второе — к y |
| Проверка решения подстановкой | 2 + 3 = 5 | Стало ли равенство верным |
| Равносильное уравнение | 2x + 2y = 8 и x + y = 4 | Совпадают ли все решения |
Сначала найди в записи переменные и определи, в каком порядке они указаны. Затем подставь значения пары и проверь равенство. Если рассматриваешь преобразование, сравни, сохраняются ли все решения.
Задача 1. Проверьте, является ли пара (2; 3) решением уравнения x + y = 5. В паре первое число относится к x, а второе — к y, поэтому важно подставить их именно в таком порядке. После этого нужно вычислить левую часть и сравнить её с правой. Если обе части равны, пара подходит.
Ответ: пара (2; 3) является решением уравнения.
Задача 2. Найдите три решения уравнения 2x + y = 6. Удобно сначала выразить одну переменную через другую: так можно выбирать значение одной буквы и сразу вычислять вторую. Возьмём для x несколько простых чисел, например 0, 1 и 2. Для каждого выбора найдём y из условия равенства.
Ответ: три решения — (0; 6), (1; 4) и (2; 2). Каждую пару можно проверить подстановкой в исходное уравнение.
Задача 3. Проверьте, равносильны ли уравнения 2x + 2y = 8 и x + y = 4. Равносильность означает, что множества решений совпадают. В первом уравнении все слагаемые и число справа имеют общий множитель 2. Разделим обе части на это ненулевое число и получим вторую запись.
Ответ: уравнения равносильны, потому что имеют одинаковые решения.
При проверке пары иногда подставляют числа не в том порядке. Так происходит, когда воспринимают (2; 3) просто как два числа, не связывая первое с x, а второе с y. Проверь себя: выпиши отдельно x и y и поставь каждому его значение. Если переменные переставлены, сравни результат с подстановкой в исходном порядке.
Другая ошибка — считать решением отдельное число. Но одному числу нельзя приписать значения обеих переменных, если они не указаны отдельно. Причина обычно в привычке решать уравнения с одной переменной. Проверка простая: запиши ответ как пару и убедись, что в ней есть значение для каждой буквы.
При подстановке можно вычислить только одну часть равенства или ошибиться в действиях. Тогда проверка не показывает, равны ли левая и правая части. Записывай обе части после подстановки и вычисляй каждую отдельно. В конце сравни полученные числа: только их равенство подтверждает, что пара подходит.
Нельзя делить обе части на выражение с переменными, не проверив, может ли оно стать нулём. Деление на нуль невозможно, а при таком преобразовании можно исключить решение, для которого делитель равен нулю. Перед делением найди значения переменных, при которых выражение обращается в нуль. Такой случай проверь отдельно, а остальные рассмотри при ненулевом делителе.
Для работы с уравнениями с двумя переменными нужно уметь подставлять числа вместо букв и выполнять действия с числовыми выражениями. Именно эти навыки позволяют проверить, верно ли равенство после подстановки пары. Если вычисления выполнены правильно, легко определить, является ли пара решением.
Новая тема опирается на понятие решения уравнения с одной переменной и на преобразования уравнений. Сравнение левой и правой частей остаётся привычным, но теперь ответом служит пара чисел. Умение выполнять преобразования помогает записывать уравнение проще и сохранять его решения.
Понятие решения понадобится при изучении графика линейного уравнения с двумя переменными: каждая подходящая пара чисел будет связана с точкой графика. Оно также пригодится при решении систем таких уравнений. В системе нужно найти пары, которые удовлетворяют сразу нескольким условиям.
Почему решение записывают парой чисел?
В уравнении две переменные, поэтому для проверки равенства нужно знать значение каждой из них. Пара (x; y) задаёт эти значения в определённом порядке.
Как проверить, подходит ли заданная пара?
Подставь первое число пары вместо первой переменной, а второе — вместо второй. Выполни действия и проверь, получилось ли верное равенство.
Может ли уравнение иметь больше одного решения?
Да. Разные пары чисел могут превращать одно и то же уравнение в верное равенство.
Что значит, что два уравнения равносильны?
Уравнения равносильны, если у них совпадают все решения. Значит, любая пара, подходящая к одному уравнению, подходит и к другому.
Почему нельзя делить на выражение с переменными без проверки?
Выражение с переменными может оказаться равным нулю. Делить на нуль нельзя, а при таком делении можно исключить пару, которая была решением исходного уравнения.
§ 28 Уравнения с двумя переменными
