§ 24 Связи между величинами. Функция

Определения и обозначения

Зависимость между величинами — связь, при которой изменение одной величины связано с изменением другой. Например, чем длиннее путь при неизменной скорости, тем больше время движения. Это понятие помогает описывать ситуации, где величины не рассматриваются по отдельности, а связаны общим условием.

Функция — зависимость, при которой каждому допустимому значению одной величины соответствует единственное значение другой. Слово «допустимому» означает, что учитываются только значения, подходящие по смыслу или по условию задачи. Такое правило нужно, чтобы по выбранному значению одной величины можно было точно определить другую.

Аргумент функции — независимая переменная, значение которой выбирают или задают; обычно её обозначают буквой x. Например, в формуле периметра квадрата можно выбрать длину стороны, а остальные вычисления зависят от этого выбора. Понятие аргумента показывает, с какой величины начинают, когда ищут значение функции.

Значение функции — значение зависимой переменной, соответствующее выбранному аргументу; его обозначают, например, f(x). Если аргумент равен 2, запись f(2) означает результат, который даёт правило функции при этом выборе. Это обозначение удобно, когда нужно различать значения функции для разных аргументов.

Как это устроено

Представим, что одинаковые тетради продают по одной цене за штуку. Чем больше тетрадей покупают, тем выше общая стоимость, потому что её определяют количество и цена каждой тетради; при фиксированной цене стоимость можно найти по количеству. Если же просто заметить, что в тёплый день люди чаще покупают мороженое и чаще гуляют, это ещё не задаёт правило между числом покупок и прогулок. Совместное изменение двух величин само по себе не означает, что одна однозначно определяет другую.

Для функции каждому допустимому аргументу должно соответствовать ровно одно значение. Если при одном и том же x правило давало бы два разных y, то по аргументу нельзя было бы однозначно узнать результат, а функция перестала бы быть определённым правилом. При этом разные аргументы могут привести к одному и тому же значению функции: условие запрещает несколько результатов для одного аргумента, но не одинаковые результаты у разных аргументов.

В записи y = f(x) буква x обозначает аргумент, а y — соответствующее значение функции. Буква f обозначает правило, которое связывает эти величины: например, если f(x) = 2x − 5, то правило состоит в том, чтобы удвоить x и вычесть 5. При x = 4 получаем f(4) = 2 · 4 − 5 = 3, поэтому y равно 3. Такая запись позволяет отдельно назвать правило и подставлять в него разные аргументы.

Зависимость можно описать словами, записать формулой или представить таблицей. В словесном описании нужно понять, какое действие связывает величины, а затем применить его к заданному значению; в формуле подставляют известный аргумент и вычисляют результат. В таблице находят строку или столбец с нужным аргументом и считывают стоящее напротив значение функции. Все три способа описывают одну связь, если дают одинаковые соответствия.

Чтобы проверить соответствие на функциональность, перечисляют допустимые аргументы и смотрят, сколько результатов связано с каждым из них. Например, пары (1; 3), (2; 5), (3; 7) задают функцию: ни один аргумент не повторяется с другим результатом. А пары (1; 3), (2; 5), (1; 4) функцией не являются, потому что аргументу 1 сопоставлены два значения. Повторение аргумента не всегда мешает: важно, совпадают ли при этом соответствующие значения.

Способы задания зависимости между величинами

Сначала определите, какая величина является аргументом, а какая зависит от неё. Затем используйте описание, формулу или таблицу, чтобы найти соответствующее значение. Если один способ задания неясен, можно проверить результат другим способом, например вычислить значение по формуле и сравнить его с таблицей.

Разбор задач

Задача 1. Периметр квадрата P зависит от длины его стороны a. Запишите эту зависимость и найдите P при a = 3 см. Нужно вспомнить, что квадрат имеет четыре равные стороны, поэтому его периметр равен сумме четырёх сторон. Сторона здесь выступает аргументом, а периметр — зависимой величиной.

1. Запишем правило: P = 4a, так как каждую из четырёх сторон длиной a складывают один раз.
2. Подставим a = 3 см: P = 4 · 3 = 12 см.
3. Проверим смысл результата: четыре стороны по 3 см дают общий периметр 12 см.

Ответ: P = 4a; при a = 3 см периметр равен 12 см.

Задача 2. Функция задана формулой y = 2x − 5. Найдите значение функции при x = 4 и значение аргумента, если y = 1. В первой части известен аргумент, поэтому достаточно вычислить выражение. Во второй части известно значение функции, значит, надо выяснить, при каком x формула даст единицу.

1. Подставим x = 4: y = 2 · 4 − 5 = 8 − 5 = 3.
2. Для поиска аргумента вместо y запишем 1: 2x − 5 = 1.
3. Решим уравнение: 2x = 6, значит, x = 3. Проверка: 2 · 3 − 5 = 1.

Ответ: при x = 4 значение функции равно 3; если y = 1, то x = 3.

Задача 3. Даны пары (1; 3), (2; 5), (1; 4), (3; 7). Определите, является ли соответствие функцией. В каждой паре первое число — аргумент, а второе — соответствующее ему значение. Поэтому нужно проверить, не встречается ли один аргумент с разными значениями.

1. Сравним пары с первым числом 1: это (1; 3) и (1; 4).
2. Одному аргументу 1 соответствуют два результата: 3 и 4.
3. Условие функции нарушено, поэтому остальные пары уже не могут сделать всё соответствие функцией.

Ответ: соответствие не является функцией.

Типичные ошибки

Считать функцией любую связь между величинами — ошибка: не всякая связь позволяет однозначно найти одну величину по другой. Так думают, потому что слово «зависимость» звучит похоже на определение функции. Проверьте себя: для каждого допустимого аргумента должен находиться ровно один результат.

Путать аргумент и значение функции тоже не следует. В записи y = f(x) аргументом является x, а y — значение, полученное по правилу; путаница часто возникает, когда обе буквы воспринимают как равноправные неизвестные. Перед вычислением подпишите, что дано и что нужно найти, и сверьте это с обозначениями в записи.

При поиске аргумента нельзя подставлять известное y вместо x и считать задачу обычным вычислением. Известное значение функции — это результат, поэтому нужно приравнять формулу к этому результату и решить уравнение относительно x. Самопроверка проста: подставьте найденный x в формулу и убедитесь, что получается заданное y.

Если одному аргументу сопоставлены разные значения, соответствие не является функцией, даже если остальные пары выглядят правильно. Повтор аргумента легко пропустить, когда пары записаны вразброс или их много. Выпишите первые числа пар и сравните результаты при совпадающих первых числах: каждому такому числу должен соответствовать один и тот же результат.

Связь с другими темами

Чтобы работать с функциями, нужно уметь подставлять числа вместо букв и находить значения буквенных выражений. Например, для формулы y = 2x − 5 сначала заменяют x заданным числом, а затем выполняют действия по порядку. Это связывает новую тему с уже знакомыми вычислениями с выражениями.

Понятие функции пригодится при изучении координатной плоскости и графиков: значения аргумента и функции можно изображать точками с координатами (x; y). Позже оно поможет разбирать линейную функцию и понимать, как её формула связана с графиком. Поэтому умение различать аргумент и значение функции понадобится не только при решении задач по формулам.

Что запомнить

• Функция задаёт зависимость между двумя величинами.
• Каждому допустимому аргументу соответствует ровно одно значение функции.
• Аргумент обычно обозначают x, значение функции — y или f(x).
• Запись y = f(x) показывает, что y зависит от x.
• Зависимость можно задать словесно, формулой или таблицей.
• Чтобы найти значение функции, подставляют заданный аргумент в правило.