§ 20. Связи между величинами. Функция

Определения и обозначения

Переменная величина – это величина, значение которой может меняться в процессе рассмотрения задачи или явления. Например, расстояние, которое проехал автомобиль, или время, затраченное на выполнение задания. Переменные величины обозначаются буквами, например, x, y, t.

Зависимость между величинами показывает, как изменение одной величины влияет на изменение другой. Эти зависимости могут быть прямые (если одна величина увеличивается, то и другая увеличивается) или обратные (если одна величина увеличивается, то другая уменьшается). Понимание этих зависимостей позволяет нам прогнозировать и анализировать различные ситуации.

Функция – это такое соответствие между переменными, при котором каждому значению независимой переменной (аргумента) соответствует единственное значение зависимой переменной (значения функции). Функция – это правило, которое превращает одно число в другое. Например, y = x + 2 – это функция.

Область определения функции – это множество всех допустимых значений независимой переменной. Существуют ограничения, которые нужно учитывать при определении области определения. Например, нельзя делить на ноль, поэтому значения аргумента, при которых знаменатель равен нулю, исключаются из области определения.

Как это устроено

Зависимости между величинами встречаются повсюду в реальной жизни. Например, расстояние, пройденное автомобилем с постоянной скоростью, зависит от времени, затраченного на поездку. Чем больше времени автомобиль находится в пути, тем большее расстояние он проедет. Цена товара зависит от его количества: чем больше товара покупают, тем больше нужно заплатить.

Функцию можно представить как формулу, которая показывает, как значение зависимой переменной связано со значением независимой переменной. Формула y = f(x) означает, что значение y зависит от значения x и вычисляется по правилу f. Это формальное определение функции, которое помогает нам более четко понять ее природу.

Независимая переменная – это аргумент функции, ее входное значение. Ее часто обозначают буквой x. Зависимая переменная – это значение функции, ее выходное значение. Её часто обозначают буквой y. Важно правильно выделять независимую и зависимую переменные, чтобы правильно записать формулу функции.

Существуют разные способы задания функции. Формулой – самый точный способ, позволяющий быстро вычислять значения функции. Таблицей – удобно представлять значения функции для ограниченного набора аргументов. Графиком – наглядно показывает зависимость между переменными. Словесно – описывает правило соответствия между переменными.

Функция должна иметь единственное значение для каждого аргумента. Это ключевое свойство функции. Если одному значению аргумента соответствует несколько значений функции, то это не функция. Например, график окружности не является графиком функции, потому что для каждого значения x на оси абсцисс соответствуют два значения y на оси ординат.

Способы задания функции

Таблица позволяет сравнить различные способы задания функции и выбрать наиболее подходящий для конкретной задачи. Важно понимать преимущества и недостатки каждого способа.

Разбор задач

1. Условие: Автомобиль проехал 240 км со скоростью 60 км/ч. Запишите функцию, выражающую расстояние, пройденное автомобилем за t часов.
2. Решение:
   1. Обозначим расстояние как s, скорость как v, а время как t.
   2. Известно, что расстояние равно скорости, умноженной на время: s = v * t.
   3. В данной задаче скорость v = 60 км/ч.
   4. Подставляем значение скорости в формулу: s = 60 * t.
3. Ответ: s = 60t. Функция, описывающая расстояние, пройденное автомобилем, равна s = 60t.

1. Условие: Дана функция y = 2x + 1. Найдите значение y при x = 3.
2. Решение:
   1. Подставляем значение x = 3 в формулу функции y = 2x + 1.
   2. y = 2 * 3 + 1.
   3. y = 6 + 1.
   4. y = 7.
3. Ответ: y = 7. При x = 3 значение функции y равно 7.

1. Условие: Представьте функцию S = v²/2g, где v - начальная скорость, g - ускорение свободного падения, в виде графического изображения. Опишите, как изменится график при увеличении начальной скорости.
2. Решение:
   1. График функции S = v²/2g представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх.
   2. Аргументом функции является начальная скорость v, а значением функции – расстояние S.
   3. При увеличении начальной скорости v график параболы поднимается вверх, так как значение S увеличивается пропорционально квадрату скорости.
3. Ответ: График функции – парабола, ветви которой направлены вверх. При увеличении начальной скорости график поднимается вверх.

Типичные ошибки

Считание любого соответствия между величинами функцией: Забывают проверить, что каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции. Например, соответствие между x и квадратным корнем из x не является функцией для отрицательных значений x.

Неправильное определение области определения функции: Не учитывают ограничения, наложенные на аргумент, например, деление на ноль или корень квадратный из отрицательного числа. Важно тщательно анализировать формулу функции и исключать недопустимые значения аргумента.

Путаница между независимой и зависимой переменной: Ошибка в определении, какая величина является аргументом, а какая – значением функции. Важно понимать, что аргумент – это то, что мы задаем, а значение функции – то, что получаем в результате.

Неумение переводить словесное описание зависимости между величинами в формулу функции: Например, «площадь квадрата равна квадрату его стороны». Это можно записать как S = a². Чтобы правильно записать формулу, нужно внимательно прочитать условие задачи и выделить переменные.

Связь с другими темами

Ранее изучались понятия переменной и константы, а также выражение зависимостей между величинами в простейших случаях. Полученные знания о функциях являются основой для дальнейшего изучения математики.

Полученные знания о функциях используются при изучении графиков функций, свойств функций, решения уравнений и неравенств. Также функции широко применяются в других науках, таких как физика, химия, экономика и информатика.

Что запомнить

• Функция – это правило, которое ставит в соответствие каждому значению независимой переменной единственное значение зависимой переменной.
• Область определения функции – это все допустимые значения аргумента.
• Функцию можно задать формулой, таблицей, графиком или словесно.
• Независимая переменная – это аргумент функции.
• Зависимая переменная – это значение функции.
• Не любое соответствие между величинами является функцией.