§ 23 Множество и его элементы

Определения и обозначения

Множество — совокупность объектов, которую рассматривают как единое целое. Например, несколько чисел можно объединить по общему признаку. Сами объекты называют элементами множества. Это понятие помогает собирать объекты в группы и говорить о них коротко.

Элемент множества — объект, который принадлежит этому множеству. Если число 3 входит в множество A, записывают 3 ∈ A и читают: «три принадлежит A». Если не входит, пишут 3 ∉ A — «три не принадлежит A». Эти знаки позволяют точно сообщить, подходит ли объект.

Пустое множество — множество, в котором нет ни одного элемента. Его обозначают знаком ∅. Например, среди натуральных чисел нет числа, которое одновременно меньше 1 и больше 5, поэтому множество таких чисел пустое. Это обозначение помогает отличить отсутствие подходящих объектов от множества, элементы которого просто не перечислены.

Равные множества — множества, состоящие из одних и тех же элементов. Например, {1, 2} и {2, 1} равны, хотя элементы записаны в разном порядке. Равенство определяется составом, а не видом записи, поэтому эти множества можно считать одинаковыми.

Как это устроено

Множество можно задать перечислением: все его элементы записывают через запятую внутри фигурных скобок. Например, множество дней выходных можно записать как {суббота, воскресенье}. Порядок перечисления не меняет результат, потому что от перестановки записей состав множества остаётся прежним. Важно не пропустить элемент, который подходит под условие, и не включить неподходящий.

Чтобы проверить, входит ли объект в множество, сравнивают его с элементами или проверяют заданное условие. Запись 4 ∈ {2, 4, 6} верна, а 5 ∉ {2, 4, 6} тоже верна. Знак ∈ читается «принадлежит», а ∉ — «не принадлежит»; слева от знака стоит объект, справа — множество. Поэтому знак показывает отношение объекта к множеству, а не равенство двух множеств.

Если элементов много или их нельзя перечислить все, множество задают общим свойством. Например, вместо списка всех чётных натуральных чисел можно сказать: «множество натуральных чисел, делящихся на 2». Такое описание указывает правило отбора, по которому можно проверить любой объект. Оно особенно удобно для бесконечных множеств, у которых нет последнего элемента.

Повтор элемента в фигурных скобках не создаёт ещё один элемент. Записи {2, 4, 4, 6} и {2, 4, 6} задают одно множество, потому что в обоих случаях присутствуют только числа 2, 4 и 6. Повтор иногда появляется при записи или перечислении, но он не меняет состав группы. Поэтому при сравнении множеств считают, какие именно разные элементы в них есть, а не сколько раз они записаны.

Для проверки равенства двух множеств нужно сравнить их состав в обе стороны. Сначала каждый элемент первого множества проверяют на наличие во втором, затем каждый элемент второго — в первом. Если все проверки успешны, множества равны; если хотя бы один элемент есть только в одном из них, множества не равны. Такой способ работает независимо от порядка элементов и способа задания.

Способы задания множества и обозначения

Используйте строку таблицы, подходящую к задаче: так легче выбрать обозначение или способ задания. При проверке принадлежности сверяйте объект с условием множества, а при сравнении равенства проверяйте состав в обе стороны. Таблица напоминает, что знаки ∈ и ∉ относятся к объекту и множеству.

Разбор задач

Задача 1. Запишите множество гласных букв русского алфавита перечислением. Нужно сначала определить, какие буквы считаются гласными, а затем каждую из них записать в фигурных скобках. Повторы не нужны, так как множество содержит буквы, а не число их упоминаний.

1. Вспоминаем гласные буквы русского алфавита: а, е, ё, и, о, у, ы, э, ю, я.
2. Записываем найденные буквы через запятую внутри фигурных скобок.
3. Проверяем, что каждая записанная буква гласная и ни одна гласная не пропущена.

Ответ: {а, е, ё, и, о, у, ы, э, ю, я}.

Задача 2. Дано множество A = {2, 4, 6, 8}. Установите, верны ли записи 6 ∈ A и 5 ∈ A. Здесь нужно проверить каждое число отдельно: достаточно найти его среди элементов A. Если числа в списке нет, принадлежность не подтверждается, и следует использовать знак ∉.

1. Сравниваем число 6 с элементами A. Оно есть в записи множества, поэтому 6 ∈ A — верно.
2. Сравниваем число 5 с элементами A. Его нет среди 2, 4, 6 и 8, поэтому 5 ∈ A — неверно.
3. Записываем правильное утверждение о числе 5: 5 ∉ A.

Ответ: 6 ∈ A — верно; 5 ∈ A — неверно, правильно: 5 ∉ A.

Задача 3. Задайте перечислением множество натуральных чисел, меньших 6 и делящихся на 2; сравните его с множеством {2, 4}. Чтобы не включить лишние числа, проверяем оба условия одновременно: число должно быть натуральным, меньше 6 и делиться на 2. Затем сравним полученный список с данным множеством по составу.

1. Перечисляем натуральные числа, меньшие 6: 1, 2, 3, 4, 5.
2. Из них оставляем делящиеся на 2. Это 2 и 4, потому что каждое делится на 2 без остатка.
3. Записываем результат в фигурных скобках: {2, 4}. Сравниваем его с данным множеством: элементы совпадают в обе стороны.

Ответ: искомое множество — {2, 4}; оно равно множеству {2, 4}.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что порядок элементов важен, и объявлять {1, 2} и {2, 1} разными множествами. Обычно так происходит потому, что при записи списка привыкли обращать внимание на последовательность. Проверка проста: перечислите разные элементы обеих записей и убедитесь, что состав совпадает. Если совпадает, множества равны.

Ошибка — считать повтор одного элемента новым элементом, например принимать {1, 1, 2} за множество из трёх разных элементов. Повтор может выглядеть как дополнительный объект, если воспринимать запись как обычный список. Для самопроверки удалите повторы и сравните оставшиеся элементы: состав множества не изменится. Здесь есть только два разных элемента — 1 и 2.

Ошибка — ставить знак ∈ между двумя множествами, будто он означает их равенство. Это происходит из-за смешения слов «принадлежит» и «состоит из тех же элементов». Знак ∈ связывает один объект с множеством, а равенство множеств записывают знаком =. Перед записью спросите себя, сравниваете ли вы отдельный объект с группой или две группы между собой.

Ошибка — считать, что объект принадлежит множеству, потому что он похож на его элементы. Например, число может выглядеть подходящим, но не удовлетворять заданному свойству. Такое решение появляется, если угадывать по внешнему сходству, не проверяя условие. Проверьте каждый признак множества: только при выполнении всех условий можно поставить ∈.

Связь с другими темами

Перед изучением множеств полезно уметь различать объекты и проверять, удовлетворяет ли объект заданному условию. Это умение помогает правильно отбирать элементы, а не полагаться на догадку. Позже понятие множества понадобится при изучении числовых промежутков, решений уравнений и неравенств: их решения тоже удобно рассматривать как наборы чисел. Обозначения принадлежности позволяют кратко записывать условия и результаты в дальнейших разделах алгебры.

Что запомнить

• Множество записывают в фигурных скобках.
• Элемент множества обозначают знаком ∈, а отсутствие элемента — знаком ∉.
• Порядок записи элементов не влияет на множество.
• Повторение элемента не меняет состав множества.
• Множество можно задать перечислением или общим свойством элементов.
• Пустое множество не содержит элементов и обозначается ∅.
• Множества равны, если состоят из одних и тех же элементов.