"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Выражения aⁿ − bⁿ и, при нечётном n, aⁿ + bⁿ можно представить как произведение множителей. Такое преобразование называют разложением на множители: оно помогает упростить выражение, найти общий множитель или сократить дробь. Для разности подходит любой натуральный показатель, а для суммы необходим нечётный. Чтобы применить формулу, сначала определяют основания степеней, затем записывают множители и проверяют результат раскрытием скобок.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Разложение на множители — представление выражения в виде произведения нескольких множителей. Вместо суммы или разности степеней мы записываем произведение, сохраняя его значение. Это преобразование помогает упростить вычисления и увидеть общие множители.
Формула разности степеней — тождество, то есть равенство, верное при любых значениях букв, которое представляет aⁿ − bⁿ произведением при натуральном n. Первый множитель в нём — a − b, а второй составлен из степеней a и b. Формула позволяет разложить разность, даже если показатель степени больше двух.
Формула суммы нечётных степеней — тождество для разложения aⁿ + bⁿ, когда n — нечётное натуральное число. В произведении первым множителем будет a + b. Условие о нечётном показателе нужно обязательно проверить, иначе формула может не подойти.
Многочлен-сумма или многочлен-разность степеней — второй множитель в формулах, состоящий из слагаемых со степенями a и b. В формуле разности знаки слагаемых — плюсы, а в формуле суммы они чередуются. Эти знаки устроены так, чтобы при обратном раскрытии скобок промежуточные слагаемые исчезали.
Рассмотрим произведение (a − b)(aⁿ⁻¹ + aⁿ⁻²b + … + abⁿ⁻² + bⁿ⁻¹). При умножении каждого слагаемого второго множителя сначала на a, а затем на −b возникают почти одинаковые слагаемые с противоположными знаками. Например, aⁿ⁻¹b появляется и как положительное, и как отрицательное слагаемое. Так сокращаются все промежуточные части, остаются только aⁿ и −bⁿ.
Для суммы при нечётном n рассматривают произведение (a + b)(aⁿ⁻¹ − aⁿ⁻²b + … − abⁿ⁻² + bⁿ⁻¹). Умножение на a даёт ряд степеней, а умножение на b — похожий ряд, сдвинутый на одно слагаемое. Благодаря чередованию знаков совпадающие промежуточные слагаемые имеют разные знаки и сокращаются. На краях остаются aⁿ и bⁿ, оба со знаком плюс.
Знаки во втором множителе суммы не выбирают наугад: каждый следующий знак меняется, чтобы обеспечить сокращение при раскрытии скобок. Если поставить все плюсы, средние слагаемые не уничтожатся и получится выражение с дополнительными членами. Поэтому полезно помнить не только вид формулы, но и причину чередования знаков. Так проще обнаружить ошибку при проверке.
Для формулы суммы показатель n должен быть нечётным. Тогда число слагаемых во втором множителе чётное, и при умножении крайние члены дают нужные знаки у aⁿ и bⁿ. При чётном n этот способ с множителем a + b в общем случае неверен: например, a² + b² нельзя тождественно разложить с таким множителем. Разность степеней, напротив, раскладывается при любом натуральном n.
Буквы a и b могут обозначать не только отдельные числа, но и целые выражения. Поэтому перед разложением нужно найти основания степеней и привести выражение к виду aⁿ − bⁿ или aⁿ + bⁿ. Например, число 8a³ можно записать как (2a)³, значит, в формуле роль основания играет 2a. После подстановки выражений вместо a и b формула действует так же, как для чисел.
| Что раскладываем | Условие | Первый множитель | Второй множитель |
|---|---|---|---|
| aⁿ − bⁿ | n — натуральное число | a − b | aⁿ⁻¹ + aⁿ⁻²b + … + abⁿ⁻² + bⁿ⁻¹ |
| aⁿ + bⁿ | n — нечётное натуральное число | a + b | aⁿ⁻¹ − aⁿ⁻²b + … − abⁿ⁻² + bⁿ⁻¹ |
Сначала найди строку по знаку между степенями и проверь условие для показателя. Затем запиши первый множитель и составь второй, следя за порядком степеней и знаками. Многоточие показывает, что между крайними членами продолжается тот же закономерный ряд.
Задача 1. Разложите на множители x⁵ − y⁵. Это разность степеней с показателем 5, а формула разности подходит при любом натуральном показателе. Основания уже видны: x и y. Во втором множителе степени x убывают, а степени y возрастают; все знаки будут плюс.
Ответ: x⁵ − y⁵ = (x − y)(x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴).
Задача 2. Разложите на множители 8a³ + b³. Сумма кубов подходит для формулы суммы, потому что показатель 3 нечётный. Но первый член сначала нужно увидеть как куб: 8a³ = (2a)³. Значит, основания степеней — 2a и b, а не 8a и b.
Ответ: 8a³ + b³ = (2a + b)(4a² − 2ab + b²).
Задача 3. Разложите на множители 16x⁴ − 81y⁴. Здесь оба члена — четвёртые степени: 16x⁴ = (2x)⁴, 81y⁴ = (3y)⁴. Сразу применить формулу суммы нельзя, но выражение является разностью квадратов. После первого шага один из множителей окажется суммой кубов, которую уже можно разложить.
Ответ: 16x⁴ − 81y⁴ = (2x − 3y)(2x + 3y)(4x² + 9y²).
Первая ошибка — применять формулу суммы aⁿ + bⁿ при чётном n. Это случается, когда запоминают общий вид, но забывают условие для показателя; проверь чётность n до записи множителей. Если показатель чётный, не используй эту формулу с a + b без отдельного обоснования.
Вторая ошибка — ставить во втором множителе суммы только плюсы или менять знаки без порядка. Тогда соседние слагаемые при раскрытии скобок не уничтожаются, и появляются лишние члены. Проверка раскрытием скобок сразу покажет, что результат не равен исходному выражению.
Третья ошибка — записывать в разности степеней первый множитель a + b вместо a − b. Причина часто в том, что знак переносят из формулы суммы; чтобы проверить себя, раскрой скобки или подставь простые числа, например a = 2 и b = 1. При неверном первом множителе результат не совпадёт с aⁿ − bⁿ.
Четвёртая ошибка — неверно находить основания степеней. Например, можно не заметить, что 8a³ = (2a)³, и подставить в формулу неподходящие основания. Перед разложением возведи предполагаемое основание в степень и проверь, что получается исходный член; затем отдельно проверь показатель и знак между членами.
Для применения формул нужно знать свойства степеней: например, как представить произведение повторяющихся множителей в виде степени. Также пригодится умножение одночлена на многочлен, потому что именно оно объясняет сокращение слагаемых при раскрытии скобок. Формула разности квадратов помогает разлагать некоторые выражения в несколько шагов.
Разложение на множители продолжает изучение преобразований многочленов. Позже оно поможет упрощать выражения и сокращать дроби: произведение можно представить так, чтобы увидеть одинаковые множители в числителе и знаменателе. При сокращении важно учитывать, что сокращают множители, а не отдельные слагаемые.
Можно ли разложить сумму aⁿ + bⁿ на множители при чётном n?
Формула с множителем a + b работает, только если n нечётное. При чётном n сумма обычно не делится на a + b: например, при a = 1 и b = 1 сумма 1² + 1² равна 2, а a + b равна 2 — но это не даёт тождества для любых a и b. Поэтому перед применением формулы нужно проверить показатель.
Почему в формуле суммы знаки во втором множителе чередуются?
При раскрытии скобок соседние слагаемые должны взаимно уничтожаться. Чередование плюсов и минусов обеспечивает это сокращение, а крайние слагаемые дают aⁿ и bⁿ со знаком плюс.
Как определить, какие выражения считать основаниями степеней?
Нужно представить каждый член как степень, в том числе вынести числовой множитель внутрь основания. Например, 8a³ = (2a)³, поэтому основаниями будут 2a и b в выражении 8a³ + b³.
Как проверить, что формула разложения записана правильно?
Раскройте скобки и проверьте, что все промежуточные слагаемые сократились. Должно остаться исходное выражение с теми же знаками.
Можно ли применить формулу несколько раз к одному выражению?
Да, если после первого разложения в получившемся выражении есть множитель, к которому подходит другая формула. Например, разность четвёртых степеней можно сначала разложить как разность квадратов, а затем разложить один из множителей ещё раз.
§ 22 Формулы для разложения на множители выражений вида аn — bn и аn + bn
