§ 21 Применение различных способов разложения многочлена на множители

Определения и обозначения

Разложение многочлена на множители — представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов. Например, 3x + 3y = 3(x + y). Такая запись нужна, чтобы упростить выражение или подготовить его к решению уравнения.

Вынесение общего множителя за скобки — преобразование, при котором множитель, общий для нескольких слагаемых, записывают перед скобками. Внутри скобок остаются результаты деления слагаемых на этот множитель. Приём основан на распределительном свойстве умножения.

Способ группировки — объединение слагаемых в группы, в каждой из которых можно вынести свой общий множитель, а затем найти общий множитель уже у получившихся групп. Он нужен, когда единого множителя для всех слагаемых сразу нет. Удачная группировка приводит к одинаковому выражению в скобках.

Формулы сокращённого умножения — тождества, позволяющие узнавать некоторые многочлены и представлять их как произведение. Например, a² − b² = (a − b)(a + b). С их помощью можно быстро разложить выражение, похожее на квадрат суммы, квадрат разности или разность квадратов.

Как это устроено

Разложение заменяет сумму или разность произведением, потому что произведение часто удобнее для дальнейших действий. Например, в произведении можно увидеть нулевой множитель при решении уравнения или сократить одинаковые множители в дроби. Поэтому преобразование меняет форму записи, но не значение выражения.

Если общий множитель есть у всех слагаемых, его выносят за скобки по распределительному свойству: c(a + b) = ca + cb. Чтобы получить содержимое скобок, каждое слагаемое делят на вынесенный множитель. После раскрытия скобок должно получиться исходное выражение, поэтому такой проверкой легко обнаружить ошибку.

Когда общего множителя у всех слагаемых нет, их разбивают на группы. В каждой группе отдельно выносят подходящий множитель, а затем рассматривают получившиеся произведения. Группы подбирают не случайно: цель состоит в том, чтобы после первого шага появился один и тот же многочлен в скобках.

Одинаковый многочлен в скобках можно считать общим множителем и вынести перед новыми скобками. Иногда после этого разложение ещё не закончено: один из множителей сам имеет общий множитель или соответствует формуле сокращённого умножения. Поэтому после каждого шага нужно проверить все множители и при необходимости продолжить преобразование.

Способы разложения многочлена на множители

Пользуйтесь таблицей как алгоритмом выбора: сначала ищите общий множитель, затем проверяйте возможность группировки и применения формулы. После каждого шага смотрите, нельзя ли разложить получившиеся множители дальше.

Разбор задач

1. Разложение вынесением общего множителя

Задача: разложите на множители 12a³b − 18a²b². Нужно найти общий множитель чисел и буквенных частей обоих слагаемых.

1. Наибольший общий числовой множитель 12 и 18 равен 6. Общие буквенные множители — a² и b, поэтому общий множитель равен 6a²b.
2. Делим каждое слагаемое на 6a²b: 12a³b : 6a²b = 2a, а 18a²b² : 6a²b = 3b. Знак второго слагаемого сохраняем внутри скобок.
3. Получаем 12a³b − 18a²b² = 6a²b(2a − 3b). Раскрытие скобок возвращает исходный многочлен.

Ответ: 6a²b(2a − 3b).

2. Разложение способом группировки

Задача: разложите на множители ax + ay + 3x + 3y. Общего множителя у всех четырёх слагаемых нет, поэтому попробуем объединить первые два и последние два.

1. Группируем слагаемые: (ax + ay) + (3x + 3y). В первой группе выносим a, во второй — 3.
2. Получаем a(x + y) + 3(x + y). Одинаковый двучлен x + y стал общим множителем двух слагаемых.
3. Выносим его за скобки: (x + y)(a + 3). Порядок множителей можно изменить, результат останется тем же.

Ответ: (x + y)(a + 3).

3. Последовательное применение приёмов

Задача: разложите на множители x³ − 4x. Здесь общий множитель позволяет сначала уменьшить степень выражения, а затем применить формулу разности квадратов.

1. Выносим x: x³ − 4x = x(x² − 4). Это ещё не окончательный результат, потому что скобки можно разложить дальше.
2. Распознаём разность квадратов: x² − 4 = x² − 2² = (x − 2)(x + 2).
3. Объединяем множители: x³ − 4x = x(x − 2)(x + 2). Проверка выполняется обратным раскрытием скобок.

Ответ: x(x − 2)(x + 2).

Типичные ошибки

Частая ошибка — вынести не все общие множители. Например, учитывают общий числовой множитель, но забывают о букве или её степени; из-за этого результат можно разложить дальше. Проверьте отдельно числа и буквенную часть каждого слагаемого.

При вынесении множителя иногда неверно определяют знак в скобках. Это происходит, если слагаемое делят на множитель без учёта минуса. Разделите каждый член полностью, а затем раскройте скобки для проверки.

При группировке можно выбрать группы, после которых выражения в скобках не совпадут. Тогда общий множитель у групп не появится. Переставьте слагаемые или попробуйте объединить их иначе, сохраняя знаки.

Некоторые останавливаются после первого преобразования, хотя один из множителей можно разложить ещё. Проверьте каждый множитель на общий множитель и соответствие формулам сокращённого умножения. Полное разложение обычно содержит множители, которые дальше изученными способами не раскладываются.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно знать распределительное свойство умножения и уверенно выполнять действия с одночленами. Также необходимы формулы сокращённого умножения: они помогают узнавать разность квадратов и квадраты двучленов.

Разложение многочлена на множители используется при решении уравнений, упрощении алгебраических дробей и сокращении выражений. Оно превращает сложную сумму в произведение, с которым часто удобнее работать.

Что запомнить

• Разложить многочлен на множители — значит представить его в виде произведения.
• Перед выбором приёма проверьте, есть ли общий множитель у всех слагаемых.
• При группировке цель — получить одинаковый множитель в скобках.
• Формулы сокращённого умножения применяют и для раскрытия скобок, и для разложения на множители.
• Разложение можно выполнять последовательно несколькими способами.
• Проверить результат можно раскрытием скобок.