§ 20 Куб суммы и куб разности двух выражений

Определения и обозначения

Куб выражения — его третья степень: например, куб суммы a + b записывают как (a + b)³. Это означает, что выражение умножают само на себя три раза. Такое обозначение помогает перейти от степени к произведению и затем раскрыть скобки.

Куб суммы двух выражений — произведение трёх одинаковых множителей (a + b)(a + b)(a + b). В каждой скобке стоит именно сумма, поэтому после раскрытия скобок все слагаемые получают положительные знаки. Определение нужно, чтобы отличать куб суммы от суммы кубов.

Куб разности двух выражений — произведение (a − b)(a − b)(a − b). Здесь в каждой скобке записана разность, и из-за этого знаки некоторых слагаемых после умножения становятся отрицательными. Нельзя заменять разность суммой: результат изменится.

Формулы куба суммы и куба разности — тождества, то есть равенства, верные при любых допустимых значениях букв. Они позволяют заменить степень со скобками готовым многочленом. Это сокращает вычисления и помогает узнавать такие выражения среди многочленов.

Как это устроено

Куб суммы можно представить как квадрат суммы, умноженный на сумму: (a + b)³ = (a + b)²(a + b). Сначала используем известную формулу (a + b)² = a² + 2ab + b², а затем умножаем каждый член на a + b. Такой переход удобен, потому что квадрат уже раскрывается по знакомому правилу.

Раскроем скобки: (a² + 2ab + b²)(a + b) = a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³. Подобные слагаемые объединяются: a²b встречается дважды вместе с ещё одним таким же произведением, а ab² — также три раза. Поэтому получаем (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Чтобы вывести формулу куба разности, в формуле куба суммы заменяют b на −b. Тогда (a + (−b))³ = a³ + 3a²(−b) + 3a(−b)² + (−b)³. Нечётные степени сохраняют знак минус, а квадрат убирает его, поэтому получается a³ − 3a²b + 3ab² − b³.

Коэффициенты 1, 3, 3, 1 показывают, сколько раз возникают одинаковые произведения. Куб a и куб b появляются по одному разу, а произведения a²b и ab² — по три раза. Поэтому эти числа определяют строение формулы, а не являются случайными множителями.

Формулы работают и в обратном направлении. Если крайние члены многочлена похожи на a³ и b³, а средние имеют вид 3a²b и 3ab², можно проверить знаки и собрать выражение в куб двучлена. Например, a³ + 3a²b + 3ab² + b³ превращается в (a + b)³.

Формулы куба суммы и куба разности

Пользуйтесь таблицей после того, как выделили два выражения, играющие роль a и b. Сначала проверьте крайние члены и коэффициенты средних, затем отдельно сверьте знаки. Если хотя бы один признак не совпадает, применять формулу без дополнительных преобразований нельзя.

При раскрытии скобок выбирайте строку по знаку между двучленами. При распознавании многочлена двигайтесь в обратном порядке: от кубов на краях к средним членам.

Разбор задач

Задача 1. Раскройте скобки: (x + 2)³.

Здесь двучлен имеет вид a + b, поэтому подходит формула куба суммы. Нужно взять a = x и b = 2, а затем аккуратно вычислить степени и произведения.

1. Подставим значения: (x + 2)³ = x³ + 3x²·2 + 3x·2² + 2³.
2. Упростим слагаемые: 3x²·2 = 6x², 3x·2² = 12x, 2³ = 8.

Ответ: (x + 2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8.

Задача 2. Раскройте скобки: (2m − 3n)³.

Перед нами куб разности, где a = 2m, а b = 3n. Подставляем эти выражения целиком, не забывая возвести в куб оба крайних выражения и поставить чередующиеся знаки.

1. Используем формулу: (2m − 3n)³ = (2m)³ − 3(2m)²(3n) + 3(2m)(3n)² − (3n)³.
2. Вычисляем: (2m)³ = 8m³, 3·4m²·3n = 36m²n, 3·2m·9n² = 54mn², (3n)³ = 27n³.

Ответ: (2m − 3n)³ = 8m³ − 36m²n + 54mn² − 27n³.

Задача 3. Представьте многочлен 8p³ − 36p²q + 54pq² − 27q³ в виде куба двучлена.

Крайние члены подсказывают возможные выражения: 8p³ = (2p)³, а 27q³ = (3q)³. Знаки средних членов чередуются как в кубе разности, поэтому предполагаем (2p − 3q)³ и проверяем средние слагаемые.

1. По формуле получаем (2p − 3q)³ = 8p³ − 3(2p)²(3q) + 3(2p)(3q)² − 27q³.
2. Средние члены равны −36p²q и +54pq², что полностью совпадает с данным многочленом.

Ответ: 8p³ − 36p²q + 54pq² − 27q³ = (2p − 3q)³.

Типичные ошибки

Первая ошибка — записать средние слагаемые без коэффициента 3. Так бывает, если ученик видит только один способ получить произведение, хотя одинаковые произведения возникают несколько раз. Проверьте себя: в формуле должны стоять 3a²b и 3ab².

Вторая ошибка — перепутать знаки в кубе разности. Минус относится к членам, где второй компонент имеет нечётную степень, поэтому схема знаков такова: плюс, минус, плюс, минус. Полезно сначала записать эту схему, а потом подставлять выражения.

Третья ошибка — считать, что (a + b)³ = a³ + b³. При умножении трёх скобок появляются ещё произведения, содержащие одновременно a и b. Проверка проста: сравните запись с формулой и найдите два средних члена.

Четвёртая ошибка — применить формулу без проверки структуры многочлена. У него могут не совпадать крайние кубы, коэффициенты 3 или знаки. Сначала выделите предполагаемые a и b, затем проверьте все четыре слагаемых.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужно уметь умножать многочлены, раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые. Именно эти действия используются при выводе формул и проверке ответа.

Куб суммы и куб разности связаны с квадратом суммы и квадратом разности. Через формулу квадрата удобно выводить куб, представляя его как произведение квадрата на исходный двучлен.

Формулы сокращённого умножения пригодятся при преобразовании выражений, быстрых вычислениях и разложении многочленов на множители. Умение распознавать структуру часто позволяет решить пример в несколько шагов.

Что запомнить

• (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.
• (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³.
• Крайние слагаемые в обеих формулах — кубы исходных выражений.
• В средних слагаемых коэффициент равен 3.
• При кубе разности знаки у членов с нечётной степенью второго выражения отрицательные.
• Формулы применяют для раскрытия скобок и распознавания куба двучлена.