"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Сумма и разность кубов — выражения, в которых складываются или вычитаются третьи степени двух чисел либо выражений. Их можно быстро разложить на множители по специальным формулам: это помогает упростить вычисления, преобразовать выражения и решать уравнения. Главное — правильно определить кубы и не перепутать знаки: в первом двучлене знак сохраняется, а знак среднего члена меняется на противоположный.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Куб выражения — произведение трёх одинаковых множителей: a³ = a · a · a. Кубом может быть как число, например 2³, так и целое выражение, например (x + 1)³. Это понятие помогает увидеть, какие части выражения можно подставить вместо букв в формулах.
Сумма кубов двух выражений — выражение вида a³ + b³, где a и b обозначают числа или целые выражения. Например, x³ + 8 — это сумма кубов x и 2, потому что 8 = 2³. Такое распознавание нужно, чтобы применить формулу разложения на множители.
Разность кубов двух выражений имеет вид a³ − b³. Здесь первое выражение вычитается из второго в определённом порядке: a³ − b³ обычно не равно b³ − a³. Порядок нужен, чтобы правильно выбрать знак в скобках и не изменить значение выражения.
Разложить выражение на множители — значит представить его в виде произведения нескольких выражений. Например, формулы суммы и разности кубов превращают сумму или разность степеней в произведение двух скобок. Такая запись удобна для упрощения выражений и решения уравнений.
Формулы можно получить, если раскрыть скобки и сгруппировать слагаемые. Для суммы кубов прибавим и вычтем подходящее выражение: a³ + b³ = a³ + a²b − a²b + b³. Первые два слагаемых и последние два слагаемых образуют группы с общими множителями, поэтому их можно переписать как a²(a + b) − b²(a + b). Теперь общий двучлен a + b можно вынести за скобки.
После вынесения общего множителя получается (a + b)(a² − ab + b²). Проверить причину появления именно такого трёхчлена можно раскрытием скобок: a · a² − a · ab + a · b² + b · a² − b · ab + b · b². Слагаемые −a²b и +a²b взаимно уничтожаются, как и +ab² и −ab², остаются a³ и b³. Поэтому произведение равно сумме кубов.
Для разности кубов можно сгруппировать слагаемые так: a³ − b³ = a³ − a²b + a²b − b³. В первой группе выносим a², а во второй — b: получаем a²(a − b) + b(a² − b²). Разность квадратов a² − b² раскладывается как (a − b)(a + b), так что в обеих группах появляется общий множитель a − b.
После вынесения общего множителя получается (a − b)(a² + ab + b²). При раскрытии скобок возникают −a²b и +a²b, а также −ab² и +ab², поэтому смешанные слагаемые сокращаются. Остаются a³ − b³, как и в исходной записи. Так можно проверить не только формулу, но и правильность её применения.
Знаки удобно запоминать по двум частям формулы. В первом двучлене знак совпадает со знаком между кубами: плюс для суммы и минус для разности. В трёхчлене крайние члены всегда положительные, а средний член имеет противоположный знак: при сумме он отрицательный, при разности — положительный. Такое правило помогает не перепутать формулы.
Если слагаемые выглядят сложнее, сначала найди выражения, кубы которых записаны. Например, 8x³ — это (2x)³, потому что и 2³ = 8, и x³ остаётся третьей степенью. Значит, в формуле вместо a можно взять 2x. Подставь найденные выражения вместо a и b, сохрани их порядок и раскрой скобки для проверки.
| Случай | Разложение на множители | Знаки в трёхчлене |
|---|---|---|
| Сумма кубов | a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) | Средний член отрицательный |
| Разность кубов | a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) | Средний член положительный |
| Проверка | Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые | Смешанные слагаемые должны сократиться |
Чтобы выбрать строку, сравни знак между кубами с первым двучленом формулы. Затем проверь средний член в трёхчлене: он должен иметь противоположный знак. Последняя строка подсказывает, как убедиться, что разложение выполнено верно.
Разложите на множители x³ + 8. Видим куб x и число 8, но для формулы сумма кубов оба слагаемых нужно записать как третьи степени. Так как 8 = 2³, берём a = x и b = 2. Подставим эти значения в формулу суммы кубов.
Представим исходное выражение как x³ + 2³.
Применим формулу a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²): получим (x + 2)(x² − 2x + 4).
Проверим раскрытием скобок: произведение равно x³ − 2x² + 4x + 2x² − 4x + 8, после сокращения получаем x³ + 8.
Ответ: (x + 2)(x² − 2x + 4).
Разложите на множители 27a³ − b³. Перед нами разность кубов, причём 27a³ = (3a)³, поскольку 27 = 3³. Значит, вместо a в формуле подставляем 3a, а вместо b — b; порядок выражений сохраняем.
Перепишем выражение: (3a)³ − b³.
Используем формулу a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²): получим (3a − b)((3a)² + 3ab + b²).
Упростим квадрат: (3a)² = 9a². Итог — (3a − b)(9a² + 3ab + b²).
Ответ: (3a − b)(9a² + 3ab + b²).
Разложите на множители 8x³ + 125y³. Оба слагаемых — кубы выражений: 8x³ = (2x)³, а 125y³ = (5y)³. Здесь сумма, поэтому используем формулу суммы, а её средний член будет отрицательным. Подстановка выражений вместо a и b даёт готовое разложение.
Запишем исходное выражение как (2x)³ + (5y)³.
Подставим a = 2x и b = 5y в формулу: (2x + 5y)((2x)² − (2x)(5y) + (5y)²).
Выполним умножение и возведение в квадрат: получим (2x + 5y)(4x² − 10xy + 25y²).
Ответ: (2x + 5y)(4x² − 10xy + 25y²).
Иногда в трёхчлене меняют знаки местами: записывают плюс в формуле суммы или минус в формуле разности. Ошибка возникает, если запомнить формулы только по виду скобок, не проверяя результат. Сверь знак между кубами со знаком в первом двучлене, а затем проверь противоположный знак среднего члена.
Сумму кубов могут ошибочно записать как (a + b)³. Путают похожие слова «сумма кубов» и «куб суммы», хотя это разные выражения. Раскрой скобки: в кубе суммы появляются слагаемые 3a²b и 3ab², а формула суммы кубов после раскрытия должна дать только a³ + b³.
Можно не извлечь кубический корень из коэффициента: например, принять 8x³ за куб x. Это происходит, если смотреть только на переменную и не проверять число перед ней. Представь коэффициент и буквенную часть отдельно: 8x³ = 2³ · x³ = (2x)³, поэтому в формулу подставляется 2x.
В разности иногда переставляют выражения, не меняя знак. Так меняется всё значение: a³ − b³ противоположно b³ − a³. Чтобы проверить себя, сравни порядок слагаемых в исходной записи с первым и вторым членами формулы; если меняешь порядок, нужно учитывать смену знака разности.
Для работы с формулами нужны навыки раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых и знание формул сокращённого умножения, например разности квадратов. Они помогают вывести формулы суммы и разности кубов и проверить результат. Поэтому перед разложением полезно уметь перемножать двучлен и многочлен.
Разложение на множители пригодится при решении уравнений: произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Оно также помогает упрощать алгебраические выражения и выполнять вычисления удобнее. Формулы кубов становятся ещё одним способом преобразовать сумму или разность в произведение.
Как не перепутать знаки в формулах суммы и разности кубов?
Сначала посмотри на знак между кубами: он повторяется в первой скобке. В трёхчлене средний член получает противоположный знак, а два крайних члена положительные.
Почему a³ + b³ нельзя разложить как (a + b)³?
При раскрытии куба суммы получается a³ + 3a²b + 3ab² + b³, то есть появляются дополнительные слагаемые. Для суммы кубов действует другая формула: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²).
Как понять, что число или выражение является полным кубом?
Нужно проверить, можно ли представить его как произведение трёх одинаковых множителей. Например, 8 = 2³, а 8x³ = (2x)³.
Можно ли применять формулы, если вместо a и b стоят выражения?
Да. Буквы a и b могут обозначать любые выражения, кубы которых стоят в исходной записи. Например, в 8x³ + 125y³ вместо них берут 2x и 5y.
Как проверить, правильно ли выполнено разложение на множители?
Раскрой скобки в полученном произведении и приведи подобные слагаемые. Должно получиться исходное выражение, а смешанные слагаемые должны сократиться.
§ 19 Сумма и разность кубов двух выражений
