§ 18 Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений либо в квадрат суммы нескольких выражений

Определения и обозначения

Квадрат суммы двух выражений — это выражение вида (a + b)². По тождеству (a + b)² = a² + 2ab + b² его можно заменить суммой квадратов слагаемых и их удвоенного произведения. Формула помогает раскрывать скобки, не перемножая каждый раз двучлен с самим собой.

Квадрат разности двух выражений имеет вид (a − b)² и раскрывается так: (a − b)² = a² − 2ab + b². Здесь a и b — любые выражения, например числа, одночлены или целые многочлены. Эта формула нужна, чтобы быстро раскрыть квадрат разности и не перепутать знак среднего члена.

Квадрат суммы нескольких выражений — квадрат суммы трёх или более слагаемых. Для трёх выражений формула имеет вид (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc. Она показывает, что нужно учесть и квадрат каждого слагаемого, и произведение каждой пары; это удобно при преобразовании длинных выражений.

Как это устроено

Формулы квадратов суммы и разности следуют из определения квадрата: выражение умножается само на себя. Например, (a + b)² означает (a + b)(a + b), а не a² + b². При умножении каждый член первой скобки перемножается с каждым членом второй, поэтому появляются четыре произведения: a², ab, ba и b².

Средние произведения ab и ba равны, потому что порядок множителей не меняет произведение. Поэтому их сумма ab + ba становится 2ab, то есть удвоенным произведением двух выражений. В квадрате суммы оно положительное, а квадраты a² и b² тоже складываются со знаком плюс.

В разности перемножаются (a − b)(a − b): произведения дают a², −ab, −ba и b². Два средних слагаемых складываются в −2ab, так как в каждом из них один множитель отрицательный. Последний член остаётся b²: он возникает из (−b)(−b), а произведение двух отрицательных величин положительно.

Для суммы трёх выражений удобно умножить (a + b + c) на такую же скобку. Квадраты появляются при умножении каждого слагаемого на себя, а каждое произведение разных слагаемых встречается дважды: ab и ba, ac и ca, bc и cb. Поэтому в формуле есть квадраты a, b и c, а также 2ab, 2ac и 2bc.

Обратное преобразование состоит в том, чтобы узнать в многочлене формулу квадрата и записать его в виде скобки, возведённой в квадрат. Сначала определи выражения, квадраты которых дают крайние члены. Затем найди их удвоенное произведение и сравни со средним членом: его величина и знак должны совпасть. Если проверка не проходит, этот многочлен нельзя представить выбранным квадратом двучлена.

Формулы квадрата суммы и разности

При раскрытии скобок найди в таблице нужную форму: сумму или разность. При обратном преобразовании сначала сопоставь квадраты слагаемых, затем сверь удвоенное произведение с оставшимся членом. Для трёх выражений проверь каждую из трёх пар.

Разбор задач

Задача 1. Преобразуйте многочлен (3x + 2)² в многочлен. В скобках стоит сумма двух выражений: 3x и 2, поэтому подходит формула квадрата суммы. Сохраним порядок членов: квадрат первого, удвоенное произведение и квадрат второго. Такой порядок помогает не пропустить среднее слагаемое.

1. Записываем формулу: (a + b)² = a² + 2ab + b². Здесь a = 3x, а b = 2. Значит, каждое слагаемое формулы можно заменить соответствующим выражением.
2. Возводим первое слагаемое в квадрат: (3x)² = 9x². Удваиваем произведение: 2·3x·2 = 12x. Квадрат второго слагаемого равен 2² = 4.
3. Соединяем полученные части: 9x² + 12x + 4. Здесь 12x положительно, потому что в исходной скобке стоит знак плюс.

Ответ: (3x + 2)² = 9x² + 12x + 4.

Задача 2. Представьте многочлен 9x² − 24xy + 16y² в виде квадрата двучлена. Сначала посмотрим на крайние члены: 9x² = (3x)², а 16y² = (4y)². Значит, возможные слагаемые двучлена — 3x и 4y. Осталось проверить, даёт ли их удвоенное произведение средний член.

1. Находим удвоенное произведение: 2·3x·4y = 24xy. По величине оно совпадает со средним членом многочлена. Это необходимая проверка, без неё одних крайних квадратов недостаточно.
2. Средний член записан со знаком минус: −24xy. Поэтому между 3x и 4y в скобке ставим минус и выбираем квадрат разности. Проверяем: (3x − 4y)² даёт −24xy в середине.

Ответ: 9x² − 24xy + 16y² = (3x − 4y)².

Задача 3. Представьте многочлен x² + 4y² + 9z² + 4xy + 6xz + 12yz в виде квадрата суммы. Первые три члена подсказывают квадраты выражений x, 2y и 3z. Чтобы убедиться, что предположение верно, проверим все попарные произведения, удвоенные по формуле. Только совпадение каждого из них с оставшимися членами подтверждает ответ.

1. Из x² получаем слагаемое x, из 4y² — 2y, а из 9z² — 3z. Записываем предполагаемый квадрат суммы: (x + 2y + 3z)². Теперь проверяем, какие смешанные члены он должен дать.
2. Для пары x и 2y получаем 2·x·2y = 4xy. Для пары x и 3z — 2·x·3z = 6xz. Для пары 2y и 3z — 2·2y·3z = 12yz.
3. Все три результата совпали с членами многочлена, причём их знаки положительные. Значит, в формуле нет пропущенной пары и выражение действительно является квадратом суммы.

Ответ: x² + 4y² + 9z² + 4xy + 6xz + 12yz = (x + 2y + 3z)².

Типичные ошибки

Ошибка: записать (a + b)² = a² + b². Так делают, перенося правило возведения произведения в квадрат на сумму и забывая, что скобки нужно умножить сами на себя. Проверь себя умножением (a + b)(a + b): два одинаковых произведения ab дают недостающий член 2ab.

Ошибка: записать в квадрате разности последний член как −b². Минус ошибочно переносят на квадрат второго слагаемого, хотя он относится только к среднему члену. Раскрой скобки в (a − b)(a − b): последний множитель даёт (−b)(−b) = b².

Ошибка: признать многочлен квадратом двучлена, проверив только крайние члены. Их действительно могут давать квадраты двух выражений, но средний член при этом может быть другим. Найди удвоенное произведение этих выражений и сравни его и по величине, и по знаку со средним членом.

Ошибка: в квадрате суммы трёх выражений пропустить пару или записать её произведение без удвоения. Это случается, когда учитывают только соседние слагаемые или смешивают формулу с квадратом двучлена. Составь список пар: ab, ac, bc; затем удвой каждое произведение и сверь все три члена с исходным многочленом.

Связь с другими темами

Для применения формул нужно уметь умножать многочлены и раскрывать скобки: именно так получаются квадраты суммы и разности. Также пригодятся действия с одночленами — возведение в квадрат, умножение буквенных выражений и правила знаков. Позже эти формулы помогут упрощать выражения и раскладывать многочлены на множители. Их используют и при решении уравнений, когда выражение удобно преобразовать в квадрат двучлена.

Что запомнить

• (a + b)² = a² + 2ab + b².
• (a − b)² = a² − 2ab + b².
• Квадраты первого и второго слагаемых в обеих формулах имеют знак плюс.
• Знак среднего члена определяется знаком между слагаемыми в исходном двучлене.
• В квадрате суммы трёх выражений учитываются квадраты всех слагаемых и удвоенные произведения каждой пары.
• Чтобы представить многочлен как квадрат суммы или разности, проверь не только квадраты крайних слагаемых, но и средний член.