§ 17 Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Квадрат суммы нескольких выражений

Определения и обозначения

Квадрат суммы двух выражений — это произведение суммы на себя: (a + b)² = (a + b)(a + b). После раскрытия скобок получаем формулу (a + b)² = a² + 2ab + b². Она нужна, чтобы быстро преобразовать квадрат скобочного выражения в многочлен.

Квадрат разности двух выражений — произведение разности на себя: (a − b)² = (a − b)(a − b). Его формула такова: (a − b)² = a² − 2ab + b². Знак минус относится только к среднему члену, а квадрат второго выражения остаётся положительным.

Квадрат суммы нескольких выражений — произведение всей суммы на себя. При раскрытии появляются квадраты каждого слагаемого и удвоенные произведения каждой пары слагаемых. Такое правило позволяет работать не только с двумя, но и с тремя, четырьмя и большим числом слагаемых.

Как это устроено

Формула квадрата суммы получается из определения квадрата и распределительного свойства умножения. Раскроем скобки в записи (a + b)(a + b): первое слагаемое умножается на оба слагаемых второй скобки, и второе слагаемое тоже умножается на оба. Получаем a² + ab + ba + b², а так как ab = ba, два одинаковых произведения превращаются в 2ab.

Для квадрата разности выполняем такое же умножение: (a − b)(a − b). Раскрытие скобок даёт a² − ab − ba + b². Два средних отрицательных произведения объединяются в −2ab, а произведение (−b) · (−b) положительно, поэтому последний член равен +b².

Буквы в формулах могут обозначать числа, переменные или целые выражения. Например, в формулу квадрата суммы можно подставить 4 и x, а вместо a и b можно взять 3a и 2b. Сначала определите два слагаемых, затем возведите каждое в квадрат и найдите удвоенное произведение с учётом знаков.

Чтобы вывести формулу для трёх слагаемых, представим сумму как (a + b) + c. Сначала получаем (a + b)² + 2(a + b)c + c², затем заменяем квадрат суммы на a² + 2ab + b² и раскрываем оставшиеся скобки. В результате выходит (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc.

Для любого числа слагаемых действует общий порядок: возведите в квадрат каждое слагаемое отдельно, а затем прибавьте удвоенные произведения всех различных пар. Каждая пара берётся один раз, например для a, b и c это пары ab, ac и bc. Такой способ не позволяет забыть перекрёстные произведения и помогает правильно расставить знаки.

Формулы квадрата суммы и квадрата разности

Сначала найдите вид выражения: сумма, разность или сумма нескольких слагаемых. Затем сверяйте каждый квадрат и каждый попарный член с нужной строкой таблицы.

Если среди слагаемых есть отрицательные выражения, знак произведения определяйте отдельно. Коэффициенты не отделяйте от переменных: например, слагаемое 3a при возведении в квадрат даёт 9a².

Разбор задач

Задача 1. Раскройте скобки: (x + 4)².

Перед нами квадрат суммы, где первое слагаемое равно x, а второе равно 4. Используем формулу (a + b)² = a² + 2ab + b². Подстановка вместо a и b должна сохранять удвоенное произведение.

1. Возводим первое слагаемое в квадрат: x².
2. Находим средний член: 2 · x · 4 = 8x.
3. Возводим второе слагаемое в квадрат: 4² = 16.

Ответ: (x + 4)² = x² + 8x + 16. Проверить результат можно обычным умножением двух скобок.

Задача 2. Раскройте скобки: (3a − 2b)².

Это квадрат разности, поэтому применяем формулу (a − b)² = a² − 2ab + b². Слагаемые здесь равны 3a и 2b, а не просто a и b. Средний член будет отрицательным, потому что между слагаемыми стоит знак минус.

1. Первый квадрат: (3a)² = 9a².
2. Средний член: −2 · 3a · 2b = −12ab.
3. Второй квадрат: (2b)² = 4b².

Ответ: (3a − 2b)² = 9a² − 12ab + 4b². В первом и последнем членах коэффициенты тоже возведены в квадрат.

Задача 3. Раскройте скобки: (x + 2y − 3z)².

Здесь три слагаемых: x, 2y и −3z. Возводим каждое в квадрат и добавляем удвоенные произведения трёх пар: x и 2y, x и −3z, 2y и −3z. Знаки произведений определяем вместе со знаками самих слагаемых.

1. Квадраты слагаемых: x², (2y)² = 4y² и (−3z)² = 9z².
2. Попарные произведения: 2 · x · 2y = 4xy, 2 · x · (−3z) = −6xz.
3. Для последней пары получаем 2 · 2y · (−3z) = −12yz.

Ответ: (x + 2y − 3z)² = x² + 4y² + 9z² + 4xy − 6xz − 12yz. Все три пары слагаемых учтены ровно по одному разу.

Типичные ошибки

Ошибка: записать (a + b)² = a² + b² и забыть 2ab. Так происходит, когда квадрат каждого слагаемого принимают за квадрат всей суммы. Проверьте себя: при умножении скобок должны появиться два перекрёстных произведения.

Ошибка: написать в формуле квадрата разности последний член −b². Квадрат отрицательного числа положителен, поэтому (−b) · (−b) = b². Если сомневаетесь, раскройте скобки по распределительному свойству.

Ошибка: не возвести коэффициент в квадрат, например превратить (3a)² в 3a². Квадрат относится ко всему слагаемому, значит (3a)² = 3² · a² = 9a². Полезно мысленно поставить скобки вокруг коэффициента и переменной.

Ошибка: пропустить или повторить попарное произведение в квадрате суммы трёх выражений. Для a, b и c должны присутствовать ровно три пары: ab, ac и bc. Составьте список пар перед раскрытием скобок и затем умножьте каждую на 2.

Связь с другими темами

До изучения формул нужны распределительное свойство умножения и правила умножения положительных и отрицательных чисел. Именно они объясняют появление двух средних произведений и знаков в формуле квадрата разности.

Формулы применяются при упрощении выражений и преобразовании многочленов. Они также помогают выполнять некоторые вычисления в уме, заменяя неудобное умножение быстрым раскрытием квадрата.

Что запомнить

• (a + b)² = a² + 2ab + b².
• (a − b)² = a² − 2ab + b².
• Квадрат разности не равен разности квадратов.
• Средний член равен удвоенному произведению слагаемых.
• Для суммы трёх слагаемых учитываются квадраты всех слагаемых и удвоенные произведения каждой пары.
• При раскрытии квадрата суммы нескольких выражений не пропускай ни одной пары слагаемых.