"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Разность квадратов — выражение, в котором из одного квадрата вычитают другой, например x² − 25. Его можно быстро разложить на множители по формуле a² − b² = (a − b)(a + b). Вместо a и b могут стоять не только числа, но и целые выражения. Главное — сначала убедиться, что перед нами именно разность двух квадратов, а затем правильно определить основания квадратов и записать два сопряжённых множителя.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадрат выражения — произведение этого выражения на само себя. Например, квадрат выражения a + b записывают так: (a + b)², то есть (a + b)(a + b). Скобки показывают, что возводится в квадрат вся сумма, а не каждое слагаемое отдельно. Это обозначение помогает увидеть, какое выражение будет основанием квадрата.
Разность квадратов — выражение вида a² − b², где a и b могут быть числами или другими выражениями. Например, x² − 25 — разность квадратов, потому что 25 можно записать как 5². Знак минус здесь принципиален: он отличает разность от суммы квадратов. Чтобы применить формулу, нужно узнать оба основания квадратов.
Формула разности квадратов — тождество a² − b² = (a − b)(a + b), позволяющее заменить разность квадратов произведением. Тождество — это равенство, которое верно при любых допустимых значениях входящих в него букв. Формула нужна, чтобы разложить выражение на множители без долгого подбора. Вместо a и b можно подставлять подходящие числа или выражения.
Сопряжённые выражения — выражения a − b и a + b, которые отличаются только знаком между слагаемыми. В формуле разности квадратов именно они становятся двумя множителями. Например, x − 5 и x + 5 — сопряжённые выражения. Их произведение удобно раскрывать: слагаемые с произведением x и 5 взаимно уничтожаются.
Формулу можно получить, раскрыв скобки в произведении (a − b)(a + b). По правилу умножения каждое слагаемое первой скобки умножают на каждое слагаемое второй: выходит a² + ab − ab − b². Средние слагаемые равны по величине, но имеют противоположные знаки, поэтому их сумма равна нулю. Остаётся a² − b², и так становится понятно, почему произведение сопряжённых выражений даёт разность квадратов.
Равенство верно при любых значениях a и b, потому что его получили с помощью обычного раскрытия скобок, не вводя никаких ограничений. Поэтому буквами могут быть не только отдельные числа или переменные, но и целые выражения. Если a = m + n, то его нужно подставлять целиком и сохранять скобки. Например, (m + n)² − p² раскладывается как (m + n − p)(m + n + p).
Чтобы узнать разность квадратов, проверь сразу два условия: между частями стоит минус, а обе части являются квадратами. Выражение x² − 25 подходит, поскольку x² — квадрат x, а 25 = 5². Выражения x² + 25 и (x − 5)² — другие случаи: первое является суммой квадратов, а второе — квадратом разности. В них нет вида a² − b², поэтому формулу напрямую применять нельзя.
При разложении сначала находят основания квадратов, а затем подставляют их вместо a и b в формулу. Если одно или оба основания записаны неочевидно, полезно вспомнить, какое число при возведении в квадрат даёт нужный коэффициент: например, 9a² = (3a)², а 16b² = (4b)². Если квадратом является целая скобка, её тоже считают одним выражением. После определения оснований записывают разность оснований и их сумму как два множителя.
Выбирать a и b нужно по частям исходной разности: a — основание первого квадрата, b — основание второго. Важно не перепутать основание и его квадрат, а также не потерять знак между частями выражения. Например, в 9a² − 16b² основаниями будут 3a и 4b. Проверить выбор можно обратным действием: раскрыть полученные скобки и убедиться, что средние слагаемые уничтожились, а исходная разность восстановилась.
В таблице собраны примеры того, как определить основания квадратов и получить множители. Сначала прочитай выражение в первом столбце, затем найди два выражения, которые возведены в квадрат. После этого запиши их разность и сумму в отдельных скобках.
| Что дано | Что определить | Результат |
|---|---|---|
| a² − b² | Два выражения, квадраты которых вычитаются | (a − b)(a + b) |
| x² − 25 | Квадраты x и 5 | (x − 5)(x + 5) |
| (m + n)² − p² | Выражения m + n и p | (m + n − p)(m + n + p) |
Разложите на множители x² − 49. Нужно проверить, можно ли представить обе части как квадраты, и найти их основания. Переменная x уже возведена в квадрат, а число 49 представляется как 7². Поэтому применяем формулу разности квадратов.
Ответ: (x − 7)(x + 7). При раскрытии скобок произведение x · 7 и −7 · x уничтожаются, остаются x² − 49. Такая проверка подтверждает разложение.
Разложите на множители 9a² − 16b². На первый взгляд здесь нет отдельных квадратов с коэффициентами 9 и 16, но оба коэффициента являются квадратами чисел. Поэтому каждую часть можно представить как квадрат одночлена и затем применить знакомое правило.
Ответ: (3a − 4b)(3a + 4b). Не следует брать основаниями 9a и 16b: их квадраты были бы 81a² и 256b². Раскрытие полученных множителей возвращает 9a² − 16b².
Разложите на множители (x + 2)² − (2x − 1)². Здесь квадратами являются не отдельные переменные, а выражения в скобках. Их нужно целиком принять за основания, чтобы не потерять знаки и слагаемые при подстановке.
Ответ: (3 − x)(3x + 1). При раскрытии скобок важно распределить знак минус перед второй скобкой на оба её слагаемых. Проверка даёт исходную разность квадратов.
Первая ошибка — применять формулу к сумме квадратов, например записывать a² + b² как произведение сопряжённых выражений. Так сделать нельзя: при раскрытии (a − b)(a + b) получится a² − b², а не сумма. Путаница возникает из-за того, что в обоих случаях встречаются квадраты и похожие буквы. Перед разложением проверь знак между квадратами и при сомнении раскрой предполагаемые скобки.
Вторая ошибка — записать только один множитель или поставить два одинаковых множителя. Формула содержит произведение двух разных выражений: (a − b) и (a + b). Если оставить только одну скобку, получится не исходное выражение, а если взять одинаковые — появятся дополнительные слагаемые. Проверь, что в одной скобке стоит минус, в другой плюс, а основания в обеих одинаковые.
Третья ошибка — неверно определить основание квадрата, например считать, что 9a² = (9a)². Так ученик видит коэффициент 9 и не проверяет, что при возведении 9a в квадрат коэффициент станет 81. Нужно найти число, квадрат которого равен 9: это 3, поэтому 9a² = (3a)². Проверка простая: возведи предложенное основание в квадрат и сравни результат с исходной частью.
Четвёртая ошибка — потерять скобки или знак при подстановке выражения вместо a или b. Например, в разности (x + 2) − (2x − 1) минус меняет знаки у обоих слагаемых второй скобки. Ошибка возникает, если подставить только часть выражения или убрать скобки слишком рано. Сначала запиши всю формулу со скобками, а потом аккуратно упрости каждый множитель.
Для работы с формулой нужно уметь возводить в квадрат одночлены и выражения, раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые. Эти навыки помогают узнавать, какие части выражения являются квадратами. Они же нужны, чтобы раскрыть скобки при проверке ответа. Если в основании стоит несколько слагаемых, особенно важно не терять скобки.
Разность квадратов связана с умножением многочленов: формулу можно получить раскрытием скобок у произведения сопряжённых выражений. Она относится к формулам сокращённого умножения — равенствам, которые позволяют быстрее выполнять вычисления и преобразования. Знание этих формул помогает замечать знакомые структуры в более длинных выражениях. В частности, формула позволяет перейти от разности к произведению.
Разложение на множители применяют не только для преобразования выражений. Оно помогает сокращать дроби, упрощать вычисления и решать уравнения, когда произведение равно нулю. Поэтому важно не просто запомнить формулу, но и научиться находить основания квадратов. Проверка раскрытием скобок позволяет контролировать результат в каждой из этих задач.
Как понять, что выражение можно разложить по формуле разности квадратов?
Проверь, что выражение состоит из двух частей, между которыми стоит знак минус, и каждую часть можно представить как квадрат. Например, x² − 25 подходит, потому что 25 = 5². Сумму квадратов по этой формуле разложить нельзя.
Почему в формуле получаются два разных множителя?
При раскрытии скобок в произведении (a − b)(a + b) средние слагаемые −ab и +ab взаимно уничтожаются. Остаются a² и −b², поэтому нужны множители с разными знаками.
Можно ли применять формулу, если вместо чисел стоят выражения в скобках?
Да, формула верна при любых значениях a и b, поэтому ими могут быть целые выражения. Например, в (m + n)² − p² за a можно принять m + n, а за b — p. Скобки помогают сохранить всё выражение целиком.
Как определить, чему равен квадрат числового коэффициента?
Нужно найти число, которое при умножении на себя даёт этот коэффициент. Например, 9a² = (3a)², потому что 3² = 9. Значит, основание квадрата здесь — 3a, а не 9a.
Как проверить, правильно ли выполнено разложение на множители?
Раскрой скобки в полученном произведении. Если после приведения подобных слагаемых получилось исходное выражение, разложение верное. В разности квадратов средние слагаемые должны уничтожиться.
§ 16 Разность квадратов двух выражений
