§ 15 Произведение разности и суммы двух выражений

Определения и обозначения

Произведение разности и суммы двух выражений — это произведение вида (a − b)(a + b), где a и b обозначают одни и те же выражения в обеих скобках. Например, в записи (x − 7)(x + 7) это выражения x и 7. Такое название помогает сразу заметить особое строение произведения и не раскрывать скобки обычным способом.

Разность квадратов — выражение вида a² − b², то есть из квадрата одного выражения вычитают квадрат другого. Например, 9x² − 4 можно записать как (3x)² − 2². Это понятие нужно, чтобы узнать, когда многочлен можно быстро разложить на множители.

Формула разности квадратов — тождество (a − b)(a + b) = a² − b². Тождеством называют равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Формула показывает, во что превращается произведение разности и суммы, и позволяет выполнить преобразование коротким способом.

Тождественное преобразование — замена выражения другим, равным ему при всех допустимых значениях переменных. Например, заменяя (x − 7)(x + 7) на x² − 49, мы не меняем значения выражения при любом x. Такое преобразование нужно для упрощения вычислений и решения задач.

Как это устроено

Формула получается из распределительного закона: каждое слагаемое первой скобки умножается на каждое слагаемое второй. Поэтому (a − b)(a + b) = a² + ab − ab − b². Здесь квадрат a появляется при умножении a на a, а квадрат b — при умножении −b на b. Остаётся понять, что происходит со смешанными произведениями.

Слагаемые ab и −ab — противоположные числа, их сумма равна нулю. Это происходит потому, что в одном произведении берётся положительное ab, а в другом — такое же по величине произведение с минусом. После сокращения остаются только a² и −b², так что результатом становится разность квадратов.

Формулу можно использовать и в обратном направлении: a² − b² = (a − b)(a + b). Причина в том, что равенство сохраняется, если прочитать его справа налево: выражение остаётся тем же, меняется только его запись. Например, x² − 25 можно представить как произведение (x − 5)(x + 5), если узнать в слагаемых квадраты x и 5.

Перед применением формулы нужно проверить обе скобки. В них должны встречаться одна и та же пара выражений, а между этой парой — сначала минус, затем плюс, или наоборот. Если хотя бы одно выражение различается, смешанные слагаемые могут не сократиться, и формула даст неверный результат.

Формула полезна, когда раскрытие скобок можно заменить короткой записью, а многочлен — представить как произведение. Она также ускоряет устные вычисления: например, 49 · 51 можно записать как (50 − 1)(50 + 1) и получить 50² − 1². В каждом случае экономится время, потому что два смешанных слагаемых не приходится вычислять по отдельности.

Применение формулы разности квадратов

Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите, какое действие требуется: раскрыть скобки, разложить выражение или вычислить значение. Затем найдите подходящую строку и сопоставьте исходную запись с формулой (a − b)(a + b) = a² − b². В последнем случае особенно важно проверить, что оба слагаемых действительно являются квадратами.

Разбор задач

Раскройте скобки: (x − 7)(x + 7). Нужно понять, совпадают ли выражения в двух скобках: это x и 7, а знаки между ними противоположны. Значит, произведение соответствует формуле разности квадратов. Применим её, возведя каждое из двух выражений в квадрат.

1. Сопоставим запись с формулой: a = x, b = 7.
2. Заменим произведение разностью квадратов: (x − 7)(x + 7) = x² − 7².
3. Вычислим квадрат числа 7: x² − 7² = x² − 49.

Ответ: x² − 49.

Упростите выражение: (3a − 2b)(3a + 2b) + 4b². Сначала замечаем в произведении одинаковые выражения 3a и 2b со знаками минус и плюс. Применяем формулу, а затем складываем получившиеся слагаемые с одинаковой буквенной частью.

1. Преобразуем произведение: (3a − 2b)(3a + 2b) = (3a)² − (2b)².
2. Возведём выражения в квадрат: (3a)² − (2b)² = 9a² − 4b².
3. Подставим результат в исходную запись: 9a² − 4b² + 4b².
4. Сократим −4b² и +4b²: остаётся 9a².

Ответ: 9a².

Разложите на множители и вычислите значение выражения 25x² − 49y² при x = 3, y = 1. Видим, что 25x² = (5x)², а 49y² = (7y)², поэтому перед нами разность квадратов. Сначала запишем её как произведение, затем подставим заданные значения переменных и посчитаем.

1. Представим слагаемые как квадраты: 25x² − 49y² = (5x)² − (7y)².
2. Разложим разность квадратов: (5x − 7y)(5x + 7y).
3. Подставим x = 3 и y = 1: (15 − 7)(15 + 7).
4. Вычислим: 8 · 22 = 176.

Ответ: (5x − 7y)(5x + 7y); при x = 3, y = 1 значение равно 176.

Типичные ошибки

Иногда записывают (a − b)(a + b) = a² + b². Ошибка возникает, если заметить квадраты, но забыть знаки при перемножении: в действительности появляется −b², а ab и −ab сокращаются. Для проверки раскройте скобки по распределительному закону и проследите за каждым знаком.

Формулу применяют и к скобкам с неодинаковыми выражениями. Например, в (a − b)(a + c) вторые слагаемые b и c различны, поэтому смешанные произведения не обязаны сократиться. Перед преобразованием подчеркните одинаковую пару выражений в обеих скобках; если такую пару выделить нельзя, формула не подходит.

Не следует путать произведение двух скобок с квадратом двучлена: (a ± b)² — это не a² ± b². При возведении двучлена в квадрат возникает ещё и удвоенное произведение: (a + b)² = a² + 2ab + b². Проверьте, сколько скобок записано и есть ли между ними знак умножения.

При разложении a² − b² можно поменять знаки так, что произведение перестанет быть равным исходному выражению. Например, (a + b)(a + b) не даёт разность квадратов. Чтобы себя проверить, перемножьте полученные скобки или убедитесь, что в них одна и та же пара выражений, а знаки противоположны.

Связь с другими темами

Для понимания этой формулы нужны распределительный закон умножения и правила раскрытия скобок: именно с их помощью объясняется её происхождение. Также важно помнить, как записывают степени с натуральными показателями и что означает квадрат выражения, например (3x)² = 9x². Эти знания позволяют и проверить формулу раскрытием скобок.

Разность квадратов помогает раскладывать многочлены на множители и упрощать рациональные выражения, в которых встречаются такие множители. Она пригодится и в устных вычислениях: произведение чисел, расположенных на одинаковом расстоянии от круглого числа, можно превратить в разность квадратов. Так формула связывает преобразования выражений с быстрым счётом.

Что запомнить

• (a − b)(a + b) = a² − b².
• Произведение разности и суммы превращается в разность квадратов.
• Смешанные слагаемые при раскрытии скобок взаимно уничтожаются.
• Разность квадратов раскладывается на произведение суммы и разности.
• Перед применением формулы нужно убедиться, что выражения в скобках одинаковы.
• Формулу можно использовать как слева направо, так и справа налево.