3.2.2. Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Определения и обозначения

Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, отличается от предыдущего на одно и то же число. Это число называют разностью прогрессии и обозначают d. Первый член записывают как a₁. Например, в последовательности 2, 5, 8, … первый член равен 2, а разность равна 3.

Суммой первых n членов арифметической прогрессии называют выражение a₁ + a₂ + … + aₙ. Её обозначают Sₙ, где n показывает, сколько членов складывают. Например, S₄ = a₁ + a₂ + a₃ + a₄. Такая запись помогает коротко говорить о сумме большого числа членов, не выписывая её целиком.

Если известны первый и последний из суммируемых членов, используют формулу Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. Здесь n — число слагаемых, a₁ — первый член суммы, а aₙ — её последний член. Формула показывает, что сумму можно найти, зная среднее значение крайних членов и количество слагаемых.

Когда известны первый член и разность, применяют формулу Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d)/2. Она получается из предыдущей формулы подстановкой выражения aₙ = a₁ + (n − 1)d. Поэтому отдельное значение последнего члена сначала вычислять не обязательно.

Как это устроено

Представим сумму членов прогрессии в обычном порядке, а затем мысленно запишем её в обратном. В прямой записи первым стоит a₁, а последним aₙ; во второй записи они окажутся рядом. При сложении соответствующих членов получатся пары a₁ + aₙ, a₂ + aₙ₋₁ и так далее. Их суммы одинаковы, потому что в арифметической прогрессии при движении от концов к середине одно слагаемое возрастает ровно настолько, насколько другое убывает.

Если число членов чётное, середины между отдельными членами нет. Все члены можно разбить на n/2 пар: первая и последняя, вторая и предпоследняя и так далее. Каждая пара даёт a₁ + aₙ, поэтому сумма равна (n/2)(a₁ + aₙ), то есть Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. Деление на 2 учитывает, что в каждой паре два члена.

При нечётном количестве членов один член остаётся посередине, но формула не меняется. В арифметической прогрессии средний член равен среднему арифметическому крайних: его значение совпадает с половиной суммы a₁ + aₙ. Поэтому этот член можно представить как пару, составленную из него самого, а подсчёт суммы снова приводит к выражению n(a₁ + aₙ)/2. Например, для пяти членов центральный третий член равен (a₁ + a₅)/2.

Чтобы получить формулу через разность, достаточно выразить последний член через первый. От a₁ до aₙ совершают n − 1 переходов, каждый из которых добавляет d, поэтому aₙ = a₁ + (n − 1)d. Подставим это выражение в формулу суммы: Sₙ = n(a₁ + a₁ + (n − 1)d)/2. После приведения подобных слагаемых получается Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d)/2.

Какую формулу использовать, решают по данным задачи. Если указаны первый и последний члены нужной суммы, удобно сразу подставить их в Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. Если заданы первый член и разность, подходит формула Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d)/2. В обоих случаях сначала уточни, сколько именно членов требуется сложить.

Формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии

Сначала найди в условии величины, которые стоят в выбранной формуле. Если последнего члена нет, но известны a₁ и d, используй вторую строку. Перед вычислениями проверь, что n — число членов суммы, а не номер, взятый без связи с условием.

Разбор задач

Задача 1. Найти сумму первых 10 членов прогрессии 2, 5, 8, … Здесь видны первый член и разность, поэтому можно воспользоваться формулой через a₁ и d. Это избавляет от необходимости выписывать все десять членов. Решим по шагам.

1. Первый член a₁ = 2, разность d = 5 − 2 = 3, число членов n = 10.
2. Подставим данные: S₁₀ = 10(2 · 2 + (10 − 1) · 3)/2.
3. Вычислим: S₁₀ = 10(4 + 27)/2 = 10 · 31/2 = 155.

Ответ: 155. Проверка по последнему члену даёт тот же результат: a₁₀ = 2 + 9 · 3 = 29, а 10(2 + 29)/2 = 155. Последний член соответствует девяти переходам от первого.

Задача 2. В арифметической прогрессии a₁ = 7, a₁₂ = 40. Найти сумму первых 12 членов. Известны оба крайних члена нужной суммы, поэтому нет необходимости находить разность. Достаточно применить формулу через первый и двенадцатый члены.

1. Определим количество слагаемых: n = 12. По условию a₁ = 7 и aₙ = a₁₂ = 40.
2. Подставим значения в формулу: S₁₂ = 12(7 + 40)/2.
3. Сложим крайние члены и вычислим: S₁₂ = 12 · 47/2 = 6 · 47 = 282.

Ответ: 282. Проверка смысла результата: среднее значение крайних членов равно 23,5, а 23,5 · 12 = 282. Значит, найденная сумма равна числу членов, умноженному на среднее значение одного члена.

Задача 3. Сумма первых n членов прогрессии с a₁ = 4 и d = 3 равна 185. Найти n. Здесь неизвестно число слагаемых, поэтому подставим данные в формулу суммы через первый член и разность. После этого получим уравнение и проверим, какое его решение может быть количеством членов.

1. Запишем уравнение: n(2 · 4 + (n − 1) · 3)/2 = 185.
2. Упростим выражение в скобках: n(8 + 3n − 3)/2 = 185, то есть n(3n + 5) = 370.
3. Перенесём всё в одну сторону: 3n² + 5n − 370 = 0. Дискриминант равен 4465, поэтому целого корня уравнение не имеет.

Ответ: натурального значения n нет. По условию задачи число членов должно быть натуральным, но уравнение не даёт целого решения. Это означает, что при указанных данных сумма 185 не может быть суммой первых n членов такой прогрессии.

Типичные ошибки

Путают число слагаемых n с номером последнего члена. Это особенно легко сделать, если сумма начинается не с a₁ или в условии перечислены члены не подряд. Проверь границы суммы: если складываются именно первые n членов, последним будет aₙ и в сумме окажется ровно n слагаемых. Можно пересчитать количество членов в записи, прежде чем подставлять числа.

Подставляют в формулу через крайние члены неизвестное или неверно определённое aₙ. Так бывает, когда не уточнили, какой именно член завершает сумму. Найди последний член по условию или вычисли его по формуле n-го члена, если известны a₁ и d. Затем проверь его номер: для суммы первых n членов это должен быть aₙ.

Забывают множитель n или деление на 2 в формуле суммы. Ошибка возникает, если помнить идею пар, но не довести подсчёт: каждая пара даёт a₁ + aₙ, а число пар равно половине числа членов. Перед вычислением сверяй запись с формулой Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. Для небольшой прогрессии можно сложить члены напрямую и проверить результат.

Вместо выражения aₙ = a₁ + (n − 1)d используют a₁ + nd. Так происходит, если считают n переходов от первого члена, хотя первый член уже задан и переходить от него к нему самому не нужно. Между первым и n-м членами ровно n − 1 промежуток. Проверь формулу на n = 1: она должна дать a₁, а выражение с nd при ненулевой разности этого не делает.

Связь с другими темами

Чтобы применять формулы суммы, нужно знать определение арифметической прогрессии и формулу её n-го члена, а также уметь подставлять значения в буквенные выражения. Суммирование прогрессии связывает свойства последовательности с вычислением суммы многих чисел без сложения по одному. Такие формулы помогают решать текстовые задачи, где нужно найти общий результат регулярных изменений или накоплений. При изучении геометрической прогрессии и других задач на последовательности этот способ рассуждения пригодится для сопоставления формул и выбора нужных данных.

Что запомнить

• Sₙ обозначает сумму первых n членов прогрессии.
• Сумма членов с противоположных концов равна a₁ + aₙ.
• Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2.
• Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d)/2.
• Число n — натуральное количество суммируемых членов.
• Перед выбором формулы выясни, какие величины известны.