§ 3. Геометрическая прогрессия

Определения и обозначения

Геометрическая прогрессия — последовательность, каждый следующий член которой получается умножением предыдущего на одно и то же ненулевое число. Например, 3; 6; 12; 24 — геометрическая прогрессия: каждый член вдвое больше предыдущего. Это определение помогает отличить её от последовательности, где каждый раз прибавляют одно и то же число.

Знаменатель геометрической прогрессии — постоянное число q, на которое умножают каждый член, чтобы получить следующий. Например, для последовательности 3; 6; 12 знаменатель равен 2. Он показывает, во сколько раз меняется член при каждом переходе, и нужен для нахождения остальных членов.

n-й член геометрической прогрессии — член с номером n, который находят по формуле bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹. Здесь b₁ — первый член, а q — знаменатель. Формула позволяет сразу найти член с нужным номером, не выписывая всю последовательность по порядку.

Сумма первых n членов — число Sₙ = b₁ + b₂ + … + bₙ. При q ≠ 1 её вычисляют по формуле Sₙ = b₁ · (qⁿ − 1) / (q − 1). Эта формула нужна, когда требуется сложить много членов прогрессии, не выполняя сложение по одному.

Как это устроено

Начать можно с правила bₙ₊₁ = bₙ · q. Если известен первый член, каждый следующий однозначно получается умножением на q: b₂ = b₁q, b₃ = b₁q · q = b₁q². Число q остаётся постоянным потому, что это условие прогрессии: если множитель изменится, правило перехода уже не будет одним и тем же. Поэтому отношение соседних ненулевых членов одинаково.

Чтобы вывести формулу n-го члена, продолжаем выражать члены через первый: b₂ = b₁q, b₃ = b₁q², b₄ = b₁q³. Номер члена на единицу больше показателя степени, потому что у первого члена ещё не было ни одного перехода. До bₙ нужно сделать n − 1 переходов, и каждый добавляет множитель q. Поэтому bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹.

Обозначим сумму первых n членов через Sₙ. Умножим равенство Sₙ = b₁ + b₂ + … + bₙ на q: получим qSₙ = b₂ + b₃ + … + bₙ₊₁. Вычтем первое равенство из второго: справа почти все слагаемые сократятся, останется bₙ₊₁ − b₁, а слева — (q − 1)Sₙ. Так как bₙ₊₁ = b₁qⁿ, при q ≠ 1 получаем Sₙ = b₁ · (qⁿ − 1) / (q − 1).

Значение q определяет поведение последовательности. Если q > 1 и первый член положителен, члены увеличиваются; при 0 < q < 1 они уменьшаются по модулю. При q < 0 знаки ненулевых членов чередуются, поскольку умножение на отрицательное число каждый раз меняет знак. При q = 1 все члены равны b₁, а при q = 0 правило перехода даёт нули начиная со второго члена; в этом изложении q = 0 исключён определением.

Возьмём три последовательных члена: bₙ₋₁, bₙ и bₙ₊₁. По правилу прогрессии средний получается из предыдущего умножением на q, а следующий — ещё одним умножением: bₙ = bₙ₋₁q и bₙ₊₁ = bₙ₋₁q². Поэтому bₙ² = (bₙ₋₁q)² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁. Это свойство позволяет найти неизвестный член, если известны два соседних с ним члена.

Основные свойства геометрической прогрессии

Сначала определи, какие данные известны: первый член, знаменатель, отдельные члены или их количество. Затем выбери строку, которая связывает эти данные с искомой величиной. Перед применением формулы суммы отдельно проверь, не равен ли q единице.

Разбор задач

Задача 1

Дана геометрическая прогрессия 3; 6; 12; … . Найдите её знаменатель и восьмой член. Сначала выясним, во сколько раз каждый член отличается от предыдущего: это отношение и есть q. Затем подставим первый член и найденный знаменатель в формулу bₙ, чтобы не выписывать все восемь членов подряд.

1. Вычислим отношение соседних членов: q = 6 / 3 = 2. Проверка: 12 / 6 тоже равно 2.
2. В формуле bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹ подставим b₁ = 3, q = 2 и n = 8: b₈ = 3 · 2⁷.
3. Вычислим: 2⁷ = 128, поэтому b₈ = 3 · 128 = 384.

Ответ: q = 2, b₈ = 384. Одинаковые отношения соседних членов подтверждают, что последовательность геометрическая. Степень равна семи, потому что от первого члена до восьмого семь переходов.

Задача 2

В геометрической прогрессии b₁ = 5, q = −2. Найдите b₆ и сумму первых шести членов. Отрицательный знаменатель означает, что при каждом переходе знак меняется, поэтому в вычислениях важно сохранять скобки у q. Сначала найдём шестой член, затем подставим данные в формулу суммы для q ≠ 1.

1. Используем формулу n-го члена: b₆ = 5 · (−2)⁵ = 5 · (−32) = −160.
2. Подставим значения в формулу суммы: S₆ = 5 · ((−2)⁶ − 1) / (−2 − 1).
3. Вычислим степени и знаменатель: S₆ = 5 · (64 − 1) / (−3) = 5 · 63 / (−3) = −105.

Ответ: b₆ = −160, S₆ = −105. Проверка знаков: члены равны 5, −10, 20, −40, 80, −160, так что положительных и отрицательных слагаемых поровну. Их сумма −105 согласуется с результатом формулы.

Задача 3

Три последовательных члена геометрической прогрессии имеют сумму 26, а произведение крайних членов равно 64. Найдите эти члены. Обозначим средний член через x, а крайние — через a и c. Свойство среднего члена даёт x² = ac = 64, поэтому возможны два случая: x = 8 и x = −8.

1. Если x = 8, то из суммы следует a + c = 18, а из условия ac = 64. Значит, a и c — корни уравнения t² − 18t + 64 = 0.
2. Решаем уравнение: t = (18 ± √68) / 2 = 9 ± √17. Поэтому крайними членами могут быть 9 − √17 и 9 + √17.
3. Если x = −8, то a + c = 34 и ac = 64. Тогда a и c — корни уравнения t² − 34t + 64 = 0, то есть 2 и 32.

Ответ: 9 − √17; 8; 9 + √17 или 9 + √17; 8; 9 − √17; также 2; −8; 32 или 32; −8; 2. Порядок крайних членов можно поменять: произведение и сумма при этом не меняются. В каждом варианте квадрат среднего равен произведению крайних, а сумма трёх чисел равна 26.

Типичные ошибки

Путают геометрическую прогрессию с арифметической и прибавляют постоянное число. Такое происходит, потому что обе последовательности задаются одним и тем же правилом перехода для всех членов, но операция различается. Проверь себя отношениями соседних членов: в геометрической прогрессии они должны быть одинаковыми, а не разности.

Записывают bₙ = b₁ · qⁿ, забывая, что показатель для первого члена равен нулю. Ошибка возникает из-за того, что номер n принимают за число умножений на q. На деле до n-го члена выполняется n − 1 переходов; проверь формулу при n = 1 — она должна дать b₁.

Подставляют q = 1 в формулу суммы с делением на q − 1. В таком случае знаменатель становится нулём, а делить на ноль нельзя. Если q = 1, все члены равны b₁, поэтому используй Sₙ = n · b₁; результат можно проверить обычным сложением одинаковых слагаемых.

Находят знаменатель вычитанием соседних членов или делят их в обратном порядке. Разность нужна для арифметической прогрессии, а обратный порядок даёт число 1/q вместо q. Для проверки вычисли отношение следующего члена к предыдущему и умножь найденное q на предыдущий член: должен получиться следующий.

Связь с другими темами

Перед изучением темы пригодятся действия со степенями, преобразование дробей и умение находить отношение двух чисел: всё это используется в формулах члена и суммы. Геометрическая и арифметическая прогрессии связаны общим способом описания последовательностей: в обеих можно переходить от одного члена к следующему и находить член по номеру. Геометрическая прогрессия применяется при вычислении процентов, сложных процентов и моделей показательного роста или убывания, когда величина за одинаковые промежутки времени каждый раз умножается на один коэффициент.

Что запомнить

• В геометрической прогрессии отношение каждого следующего члена к предыдущему постоянно и равно q.
• Рекуррентная формула: bₙ₊₁ = bₙ · q.
• Формула n-го члена: bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹.
• При q ≠ 1 сумма первых n членов равна Sₙ = b₁ · (qⁿ − 1) / (q − 1).
• При q = 1 все члены равны b₁, поэтому Sₙ = n · b₁.
• Для трёх последовательных членов квадрат среднего равен произведению крайних: bₙ² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁.
• При отрицательном знаменателе знаки ненулевых членов чередуются.