3.3.1. Геометрическая прогрессия. Формула общего члена

Определения и обозначения

Геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получается умножением предыдущего на одно и то же число. Например, в последовательности 3, 6, 12, 24 каждый раз умножают на 2. Это определение позволяет отличить геометрическую прогрессию от других последовательностей.

Знаменатель геометрической прогрессии q — постоянный множитель, связывающий соседние члены: bₙ₊₁ = bₙq. Он показывает, во сколько раз следующий член отличается от предыдущего. Если q больше 1, положительные члены увеличиваются, если 0 < q < 1 — уменьшаются.

Общий член геометрической прогрессии bₙ — член последовательности с номером n. Его находят по формуле bₙ = b₁qⁿ⁻¹. Эта формула нужна, чтобы получить любой член сразу, не выписывая все предыдущие.

Как это устроено

В геометрической прогрессии переход к следующему члену всегда устроен одинаково: предыдущий член умножают на q. Например, если b₁ = 4 и q = 3, то b₂ = 4 · 3 = 12, а b₃ = 12 · 3 = 36. Постоянство множителя и является главным признаком такой прогрессии.

Формулу общего члена можно получить последовательной записью членов. Имеем b₂ = b₁q, затем b₃ = b₂q = b₁q², а b₄ = b₃q = b₁q³. В каждом следующем выражении к степени добавляется единица, поэтому для номера n получается bₙ = b₁qⁿ⁻¹.

Показатель n − 1 связан не с самим номером, а с количеством переходов. От первого члена к первому переходов нет, поэтому b₁ = b₁q⁰. От первого к пятому нужно перейти четыре раза, значит, b₅ = b₁q⁴. Такое объяснение помогает не путать показатель с n.

Если известны два соседних ненулевых члена, знаменатель находят делением последующего на предыдущий: q = bₙ₊₁ / bₙ. Затем найденное значение нужно проверить на другой паре соседей, если она есть. Для поиска конкретного члена используют формулу общего члена, а для поиска номера составляют уравнение b₁qⁿ⁻¹ = bₙ и проверяют, что ответ является натуральным числом.

Способы задания и нахождения членов геометрической прогрессии

Таблица показывает, какое действие выполнять в зависимости от известных данных. Сначала определите, требуется ли продолжить последовательность, найти q, вычислить член или установить его номер. После этого выберите соответствующую формулу и проверьте результат по условию.

Например, зная b₁ и q, можно найти любой член без последовательного умножения. Если требуется q, используйте отношение соседних членов только при ненулевом делителе. При отрицательном q отдельно следите за знаком степени.

Разбор задач

Задача 1

Дана прогрессия 2, 6, 18, … Нужно найти знаменатель и записать два следующих члена. Сравним соседние числа и проверим, что один и тот же множитель сохраняется.

1. q = 6 / 2 = 3.
2. Проверка: 18 / 6 = 3, значит, найденное значение действительно является знаменателем.
3. Следующие члены: 18 · 3 = 54 и 54 · 3 = 162.

Ответ: q = 3; следующие члены — 54 и 162.

Задача 2

Пусть b₁ = 5 и q = −2. Требуется найти b₆. Используем общий член, потому что известны первый член, знаменатель и номер нужного члена.

1. Подставляем данные: b₆ = 5 · (−2)⁶⁻¹ = 5 · (−2)⁵.
2. Пятая степень отрицательного числа отрицательна: (−2)⁵ = −32.
3. b₆ = 5 · (−32) = −160.

Ответ: b₆ = −160.

Задача 3

Дано b₁ = 3, q = 2, а значение одного из членов равно 96. Нужно определить его номер. Подставим известное значение в формулу и найдём показатель степени.

1. 3 · 2ⁿ⁻¹ = 96.
2. 2ⁿ⁻¹ = 32 = 2⁵, поэтому n − 1 = 5.
3. n = 6, и этот номер является натуральным.

Ответ: число 96 имеет номер 6.

Типичные ошибки

Степень n вместо n − 1. Так происходит, когда забывают, что первый член уже дан и умножать его на q не нужно. Проверьте формулу на n = 1: она должна давать b₁ = b₁q⁰, а не b₁q.

Путаница с разностью. У арифметической прогрессии соседние члены связывает прибавление, а у геометрической — умножение. Если последовательность 2, 6, 18, … пытаться продолжить прибавлением, получится неверный результат; сравните отношения соседних членов.

Деление на нулевой член. Формула q = bₙ₊₁ / bₙ невозможна, если bₙ = 0. Перед делением проверьте знаменатель, а затем подтвердите найденный q другой парой соседних членов.

Ошибка со знаком при отрицательном q. При нечётной степени отрицательный q даёт отрицательный результат, при чётной — положительный. Определите чётность показателя n − 1 до вычисления степени.

Связь с другими темами

До изучения геометрической прогрессии нужны понятия последовательности и её n-го члена. Также пригодятся свойства степеней: умножение степеней с одинаковым основанием и определение нулевой степени. Эти знания объясняют переход от b₁q к b₁qⁿ⁻¹.

Тема продолжает изучение числовых последовательностей и подготавливает к формулам суммы членов геометрической прогрессии. Сначала научитесь находить отдельный член и знаменатель, а затем эти результаты будут использоваться при вычислении суммы нескольких членов.

Что запомнить

• В геометрической прогрессии каждый следующий член получают умножением предыдущего на q.
• Знаменатель q — постоянный множитель соседних членов.
• Формула общего члена: bₙ = b₁qⁿ⁻¹.
• Показатель степени равен числу переходов от первого члена к n-му.
• Отношение соседних членов используют для нахождения q, если делитель не равен нулю.
• При отрицательном q знак члена зависит от чётности показателя.