3.3.2. Сумма первых п членов геометрической прогрессии

Определения и обозначения

Геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получают умножением предыдущего на одно и то же число. Например, в последовательности 3, 6, 12, 24 каждый член вдвое больше предыдущего. Это определение помогает отличить геометрическую прогрессию от других последовательностей и увидеть повторяющееся правило перехода от одного числа к следующему.

Число, на которое умножают предыдущий член, чтобы получить следующий, называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначают q. Его можно найти как отношение соседних членов: q = b₂ / b₁ или, в общем случае, q = bₙ₊₁ / bₙ. Например, для последовательности 3, 6, 12 знаменатель равен 2. Зная q, можно восстановить следующие члены и проверить, действительно ли заданная последовательность геометрическая.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии — это b₁ + b₂ + … + bₙ; её обозначают Sₙ. Здесь b₁ — первый член, а n показывает, сколько членов складывают. Такое обозначение удобно, когда последовательность длинная: вместо записи всех слагаемых можно указать их число и вычислить сумму по правилу.

Формула суммы первых n членов — правило, которое позволяет найти Sₙ через первый член b₁, знаменатель q и число слагаемых n. Она заменяет последовательное сложение членов, особенно когда их много. Чтобы правильно применить формулу, сначала определяют эти три величины и отдельно проверяют, равен ли знаменатель единице.

Как это устроено

Запишем первые n членов через b₁ и q. Первый член равен b₁, второй — b₁q, третий — b₁q², а n-й — b₁qⁿ⁻¹, потому что до него умножение на q выполняется n − 1 раз. Поэтому сумма имеет вид Sₙ = b₁ + b₁q + b₁q² + … + b₁qⁿ⁻¹. Такая запись показывает общий рисунок слагаемых и подсказывает, как подобрать преобразование, при котором они сократятся.

Умножим обе части равенства для Sₙ на q: qSₙ = b₁q + b₁q² + … + b₁qⁿ. Теперь вычтем из этой записи исходную сумму Sₙ = b₁ + b₁q + … + b₁qⁿ⁻¹. Слагаемые от b₁q до b₁qⁿ⁻¹ встречаются в обеих строках и при вычитании исчезают. Остаётся qSₙ − Sₙ = b₁qⁿ − b₁, то есть (q − 1)Sₙ = b₁(qⁿ − 1).

Если q ≠ 1, на q − 1 можно разделить: Sₙ = b₁(qⁿ − 1) / (q − 1). Умножив числитель и знаменатель этой дроби на −1, получим равносильную запись Sₙ = b₁(1 − qⁿ) / (1 − q). В обеих формах используются те же значения b₁, q и n, а степень qⁿ появляется потому, что после умножения суммы на q последним слагаемым становится b₁qⁿ. Выбирай ту запись, в которой проще работать со знаками.

При q = 1 каждый член равен предыдущему, поэтому все n членов равны b₁. Тогда Sₙ = b₁ + b₁ + … + b₁ = nb₁. Подставлять q = 1 в общую формулу нельзя: в знаменателе q − 1 получится ноль. Поэтому сначала проверяют значение q, а уже затем выбирают подходящее правило.

Знаки числителя и знаменателя в формуле должны соответствовать друг другу: можно взять qⁿ − 1 вместе с q − 1 либо 1 − qⁿ вместе с 1 − q. Если поменять знак только в одной части дроби, результат изменится на противоположный. После вычисления полезно проверить сумму сложением членов, если их немного: такая проверка быстро обнаруживает ошибку в знаках или степени.

Формулы суммы первых n членов геометрической прогрессии

Сначала определи, чему равны b₁, q и n, а затем проверь условие q = 1 или q ≠ 1. Для q ≠ 1 выбирай любую из двух равносильных форм, сохраняя знаки числителя и знаменателя. Если q = 1, сразу используй последнюю строку таблицы.

Разбор задач

Сумма первых пяти членов прогрессии 3, 6, 12, …

Видно, что каждый член вдвое больше предыдущего, значит, это геометрическая прогрессия со знаменателем 2. Нужно сложить пять членов, поэтому n = 5, а первый член b₁ = 3. Так как q ≠ 1, удобно применить формулу Sₙ = b₁(qⁿ − 1) / (q − 1).

1. Записываем данные: b₁ = 3, q = 2, n = 5.
2. Подставляем их в формулу: S₅ = 3(2⁵ − 1) / (2 − 1).
3. Вычисляем степень и упрощаем: S₅ = 3 · 31 / 1 = 93.

Ответ: 93. Проверка прямым сложением даёт те же пять членов: 3, 6, 12, 24, 48; их сумма равна 93. Проверка подтверждает, что число членов и степень в формуле выбраны правильно.

Сумма первых шести членов, если b₁ = 16 и q = −½

Первый член и знаменатель уже указаны, а число членов равно шести. Знаменатель не равен единице, значит, подходит общая формула. Отрицательное число в чётной степени будет положительным, поэтому особенно внимательно вычислим q⁶ и проследим за знаками дроби.

1. Записываем данные: b₁ = 16, q = −½, n = 6.
2. Для удобства выбираем запись Sₙ = b₁(1 − qⁿ) / (1 − q).
3. Вычисляем степень: (−½)⁶ = 1/64, затем подставляем: S₆ = 16(1 − 1/64) / (1 + ½).
4. Упрощаем дробь: S₆ = 16 · (63/64) / (3/2) = (63/4) · (2/3) = 21/2.

Ответ: 21/2, или 10½. Проверка знака разумна: члены чередуются, поскольку q отрицателен, а сумма получается положительной. При вычислении важно было учесть, что шестая степень отрицательного числа положительна.

Чтение страниц за семь дней

За первый день прочитали 2 страницы, а каждый следующий день — вдвое больше, чем накануне. Число страниц за каждый день образует геометрическую прогрессию: 2, 4, 8, … . Требуется общее количество страниц за семь дней, поэтому b₁ = 2, q = 2 и n = 7.

1. Переводим условие в обозначения: первый член b₁ = 2, знаменатель q = 2, число членов n = 7.
2. Так как q ≠ 1, записываем сумму: S₇ = 2(2⁷ − 1) / (2 − 1).
3. Вычисляем: S₇ = 2 · 127 = 254.

Ответ: за семь дней прочитали 254 страницы. Здесь один член прогрессии соответствует одному дню, поэтому семи дням соответствуют ровно семь слагаемых. Формула сразу учитывает общий результат, не требуя складывать каждый дневной объём отдельно.

Типичные ошибки

Ошибка: считать знаменателем отношение первого члена ко второму. Знаменатель показывает, во сколько раз следующий член отличается от предыдущего, поэтому нужно делить следующий на предыдущий: q = b₂ / b₁. Путаница возникает, если не проговорить направление перехода; проверить себя можно умножением предыдущего члена на найденное q.

Ошибка: подставлять q = 1 в формулу с делением на q − 1. При таком значении знаменатель дроби равен нулю, а деление на ноль не определено. Обычно забывают проверить особый случай перед вычислением; убедись, что q ≠ 1, а если q = 1, используй Sₙ = nb₁.

Ошибка: использовать в формуле суммы степень qⁿ⁻¹ вместо qⁿ. Показатель n − 1 относится к общему члену bₙ, потому что от первого члена до n-го выполняется n − 1 умножений. При выводе суммы появляется qⁿ, поскольку умножение всей суммы на q добавляет ещё один шаг; подставь короткий пример с двумя членами, чтобы увидеть разницу.

Ошибка: менять знак только в числителе или только в знаменателе. Записи (qⁿ − 1) / (q − 1) и (1 − qⁿ) / (1 − q) равносильны, так как знак изменён сразу у обеих частей дроби. Ошибка часто появляется при переходе от одной формы к другой; проверь, что знаки поменялись одновременно, или сравни результат с прямым сложением нескольких членов.

Связь с другими темами

Для работы с суммой нужно уметь распознавать геометрическую прогрессию, находить её знаменатель и записывать общий член. Эти навыки позволяют определить, какие числа входят в сумму и сколько членов требуется учесть. Если последовательность не имеет постоянного отношения соседних членов, формулу суммы геометрической прогрессии применять нельзя.

Вывод формулы связан с преобразованием алгебраических выражений: равенство умножают на q, а затем вычитают исходную запись. Сокращение одинаковых слагаемых превращает длинную сумму в выражение, которое легко решить относительно Sₙ. Приёмы умножения и вычитания равенств полезны и в других задачах алгебры.

Формула нужна в задачах, где величина снова и снова увеличивается или уменьшается в одинаковое число раз. Например, так можно описать количество прочитанных страниц за дни, если дневной объём каждый раз удваивается. Понимание конечной суммы также подготавливает к изучению бесконечной геометрической прогрессии.

Что запомнить

• Сумму первых n членов обозначают Sₙ.
• При q ≠ 1: Sₙ = b₁(qⁿ − 1) / (q − 1).
• Формула Sₙ = b₁(1 − qⁿ) / (1 − q) равносильна основной.
• При q = 1 сумма равна nb₁.
• В формуле суммы степень знаменателя — n, а не n − 1.
• Перед вычислением определите b₁, q и число членов n.