"Алгебра. (в 2 частях)", Петерсон Л.Г., Агаханов Н.Х., Петрович А.Ю., Подлипский О.К., Рогатова М.В., Трушин Б.В.
Геометрическая прогрессия состоит из чисел, каждое из которых получают умножением предыдущего на одно и то же число q. Если |q| < 1, члены прогрессии по модулю становятся всё меньше и стремятся к нулю. Хотя таких членов бесконечно много, сумма первых n членов приближается к определённому числу. Это число называют суммой бесконечной прогрессии и находят по формуле S = b₁/(1 − q).
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый следующий член получают умножением предыдущего на одно и то же число q. Например, в последовательности 2; 6; 18; … каждый член после первого в три раза больше предыдущего, поэтому q = 3. Число q называют знаменателем прогрессии: по нему можно восстановить все её члены.
Бесконечная геометрическая прогрессия — геометрическая прогрессия, продолжающаяся без ограничения числа членов. После любого её члена можно записать следующий, умножив предыдущий на q. Это понятие нужно, когда рассматривают не отдельный конечный набор чисел, а бесконечную последовательность.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем |q| < 1, у которой модули членов стремятся к нулю. Модуль числа — его расстояние от нуля, поэтому условие допускает как положительный, так и отрицательный q. Оно показывает, что члены становятся всё меньше по абсолютной величине.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии — предел суммы первых n её членов; вычисляется по формуле S = b₁/(1 − q). Здесь b₁ — первый член, а предел — число, к которому всё ближе подходят частичные суммы при увеличении n. Это определение позволяет говорить о сумме бесконечного ряда без обычного сложения бесконечного количества чисел.
При умножении на q каждый раз модуль члена умножается на |q|. Если |q| меньше единицы, каждое такое умножение уменьшает модуль, например вдвое при |q| = ½. Поэтому модули членов прогрессии приближаются к нулю, хотя при отрицательном q сами знаки могут чередоваться. Убывает в этом случае именно модуль, а не обязательно значение каждого члена.
Для первых n членов при q ≠ 1 действует формула Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q). Она получается умножением суммы на q и вычитанием полученного выражения из исходной суммы: почти все промежуточные слагаемые сокращаются. Остаются первый член и выражение с qⁿ, после чего сумму можно выразить через b₁ и q. Так конечная формула связывает сумму с числом сложенных членов.
Если |q| < 1, то при росте n степень qⁿ стремится к нулю. Поэтому множитель 1 − qⁿ в формуле Sₙ становится всё ближе к 1, а частичные суммы приближаются к числу b₁/(1 − q). Это число и называют суммой бесконечной прогрессии: бесконечность членов здесь означает предел процесса, а не обычное сложение без конца.
Условие |q| < 1 нельзя опускать. При |q| ≥ 1 члены, как правило, не стремятся к нулю, а добавление новых слагаемых не приводит частичные суммы к одному конечному пределу. Например, при q = 1 каждое слагаемое равно b₁, и сумма растёт с числом слагаемых; при q = −1 слагаемые чередуются, а частичные суммы обычно колеблются. Поэтому формула S = b₁/(1 − q) описывает сумму только в случае |q| < 1.
В формуле важны знаки и первого члена, и знаменателя 1 − q. Если q отрицателен, то 1 − q равняется 1 плюс модуль q, а не 1 плюс q с сохранением отрицательного знака. Например, при q = −½ знаменатель формулы суммы равен 1 − (−½) = 3/2. Подстановка знаков в скобках помогает избежать ошибки и получить правильный знак суммы.
| Элемент | Условие или формула | Смысл |
|---|---|---|
| Первый член | b₁ | Начальное число прогрессии |
| Знаменатель прогрессии | q = bₙ₊₁/bₙ | Постоянный множитель перехода к следующему члену |
| Условие бесконечного убывания | |q| < 1 | Модули членов стремятся к нулю |
| n-й член прогрессии | bₙ = b₁qⁿ⁻¹ | Формула для любого члена по его номеру |
| Сумма первых n членов | Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q) | Сумма конечного количества членов при q ≠ 1 |
| Сумма бесконечной прогрессии | S = b₁/(1 − q) | Предел частичных сумм при |q| < 1 |
| Предельный переход | qⁿ → 0 при |q| < 1 | Позволяет перейти от Sₙ к S |
Сначала по соседним членам находят q, а затем проверяют условие |q| < 1. Если оно выполнено, можно использовать формулу суммы первых n членов и перейти к сумме бесконечной прогрессии. Таблица помогает отличать конечную частичную сумму Sₙ от её предела S.
Задача 1. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии 12; 4; 4/3; … Сначала проверим, что отношение соседних членов постоянно, и определим знаменатель. Затем выясним, можно ли применять формулу бесконечной суммы.
Ответ: 18. Проверка отношения соседних членов подтверждает, что дана геометрическая прогрессия.
Задача 2. Найдите сумму прогрессии 5; −2,5; 1,25; −0,625; … Здесь знаки чередуются, поэтому при вычислении знаменателя важно не отбросить минус. После этого проверим, допускает ли его модуль бесконечную сумму.
Ответ: 10/3. Отрицательный знаменатель вызывает чередование знаков, но не мешает существованию суммы.
Задача 3. В бесконечно убывающей геометрической прогрессии первый член равен 18, а сумма равна 24. Найдите знаменатель. Поскольку сумма и первый член известны, подставим их в формулу и решим уравнение относительно q. В конце обязательно проверим допустимость результата.
Ответ: q = 1/4. Проверка показывает, что найденное значение действительно задаёт бесконечно убывающую прогрессию.
Применяют формулу суммы, не проверив |q| < 1. Ошибка возникает, когда формулу воспринимают как подходящую для любой геометрической прогрессии, хотя она получена предельным переходом. Сначала найдите q и сравните его модуль с единицей. Если условие не выполнено, формулой суммы бесконечной прогрессии пользоваться нельзя.
Подставляют b₁/(1 + q) вместо b₁/(1 − q), особенно когда q отрицателен. Обычно так происходит из-за смешения знака знаменателя прогрессии со знаком в формуле суммы. Записывайте подстановку как 1 − (−1/2), если q = −1/2. Раскрытие скобок сразу показывает, что знаменатель формулы равен 3/2.
Сумму бесконечной прогрессии путают с первым членом или с суммой нескольких первых членов. В первом случае вместо результата подставляют b₁, а во втором находят лишь Sₙ, которое зависит от n. Проверьте, что требуется в условии: конкретное число слагаемых или предел частичных сумм. Для бесконечной суммы при |q| < 1 применяют S = b₁/(1 − q).
Знаменатель находят делением предыдущего члена на последующий или не учитывают знак членов. Это приводит к обратному отношению или к неверному положительному q. Делите следующий член на предыдущий: q = bₙ₊₁/bₙ, затем проверьте результат на другой паре членов. При чередовании знаков q отрицателен, и этот знак нужно сохранить при подстановке.
Для изучения этой темы нужны формула n-го члена геометрической прогрессии и формула суммы первых n членов. При переходе к бесконечной сумме используются свойства степеней: именно из условия |q| < 1 следует, что qⁿ стремится к нулю. Этот переход связан с понятием предела последовательности. Формула также помогает вычислять периодические дроби и бесконечные десятичные дроби, а ещё описывать величины, которые постепенно уменьшаются.
Почему бесконечное число членов может иметь конечную сумму?
При |q| < 1 каждый следующий член по модулю меньше предыдущего, а сами члены стремятся к нулю. Прибавки становятся всё меньше, поэтому суммы первых n членов приближаются к конечному пределу.
Можно ли применять формулу S = b₁/(1 − q), если q больше или равно 1?
Нет, формула суммы бесконечно убывающей прогрессии применима при |q| < 1. Если q ≥ 1, члены не стремятся к нулю, поэтому частичные суммы обычно не приближаются к конечному числу.
Что делать, если знаменатель прогрессии отрицательный?
Нужно подставить отрицательное значение q в формулу S = b₁/(1 − q), внимательно сохраняя знаки. Если |q| < 1, сумма существует, даже когда знаки членов чередуются.
Чем сумма бесконечной прогрессии отличается от суммы первых n членов?
Сумма первых n членов складывает только конечное число членов и обозначается Sₙ. Сумма бесконечной прогрессии — это предел таких частичных сумм, когда n неограниченно увеличивается.
Как проверить, что найденная прогрессия действительно является бесконечно убывающей?
Найдите знаменатель q: разделите любой член, начиная со второго, на предыдущий. Затем проверьте условие |q| < 1; оно означает, что модули членов стремятся к нулю.
3.3.3.* Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
