3.3.4.* Линейные рекуррентные соотношения

Определения и обозначения

Рекуррентное соотношение — правило, которое выражает член последовательности через один или несколько предыдущих членов. Например, равенство aₙ₊₁ = 2aₙ задаёт следующий член через текущий. Такое правило нужно, когда последовательность удобно строить шаг за шагом, а не сразу вычислять любой её член.

Линейное рекуррентное соотношение — правило, в котором предыдущие члены входят в первой степени и не перемножаются друг с другом. Например, aₙ₊₂ = 3aₙ₊₁ − 2aₙ линейно, потому что оба предыдущих члена умножены на числа. Эти числа называют коэффициентами: они показывают, как предыдущие значения влияют на следующий член.

Порядок рекуррентного соотношения — число предыдущих членов, необходимых для вычисления следующего. Если для вычисления aₙ₊₂ нужны aₙ₊₁ и aₙ, правило имеет второй порядок. Порядок помогает понять, сколько значений нужно знать перед началом вычислений.

Начальные условия — заданные значения первых членов последовательности. Например, в записи a₁ = 2, aₙ₊₁ = 3aₙ начальным условием служит значение a₁. Без начальных условий одно правило обычно допускает несколько последовательностей, поэтому они нужны, чтобы выбрать конкретную.

Как это устроено

Рекуррентное правило применяют последовательно: сначала берут известные начальные члены, затем по ним находят следующий. Полученное значение становится одним из известных, и его можно использовать на следующем шаге. Так возникает цепочка вычислений, где каждый новый член опирается на уже найденные.

Линейность означает, что предыдущие члены складываются после умножения на коэффициенты, а не изменяются нелинейно. Например, выражение 2aₙ₊₁ − 3aₙ линейно по членам последовательности, а aₙ² или aₙ₊₁aₙ — нет. В линейном правиле каждый предыдущий член участвует отдельно и в первой степени; коэффициенты могут задавать его вклад в результат.

Порядок определяется числом значений, от которых зависит следующий член, потому что именно столько предыдущих данных нужно подставить. Для правила второго порядка нужны два первых члена: без одного из них на очередном шаге не хватит информации. Аналогично, правилу третьего порядка нужны три начальных значения. Поэтому количество начальных условий связано с тем, сколько членов используется в рекуррентном правиле.

Например, если a₁ = 1, а aₙ₊₁ = 2aₙ + 1, то сначала подставляют a₁: a₂ = 2·1 + 1 = 3. Затем используют найденное значение: a₃ = 2·3 + 1 = 7. Продолжая таким способом, получают a₄ = 2·7 + 1 = 15; важно каждый раз подставлять значение именно с предыдущим индексом.

Начальные условия влияют на все последующие вычисления, потому что первое найденное значение зависит от них, а следующие — от уже полученных членов. Поэтому одинаковая формула может дать разные последовательности. Например, при правиле aₙ₊₁ = 2aₙ начальное значение 1 даёт 1, 2, 4, …, а начальное значение 3 — 3, 6, 12, … . Само правило не изменилось, но стартовые данные задали другой ход вычислений.

Как порядок соотношения связан с начальными данными

Чтобы пользоваться таблицей, найди, сколько предыдущих членов стоит в правиле для следующего, и определи порядок. В соответствующей строке видно, сколько начальных значений нужно задать. Общий вид показывает, как предыдущие члены входят в линейное соотношение, а пример помогает распознать его на практике.

Разбор задач

Задача 1. Дана последовательность: a₁ = 2, aₙ₊₁ = 3aₙ. Найдите a₂, a₃ и a₄. Здесь правило первого порядка: для нового значения нужен только один предыдущий член. Поэтому начинаем с a₁ и каждый раз умножаем найденное значение на 3.

1. Подставляем a₁ = 2: a₂ = 3a₁ = 3·2 = 6.
2. Теперь используем a₂: a₃ = 3a₂ = 3·6 = 18.
3. Для следующего шага берём a₃: a₄ = 3a₃ = 3·18 = 54.

Ответ: a₂ = 6, a₃ = 18, a₄ = 54. Каждый раз мы подставляли последний найденный член, потому что правило связывает соседние члены.

Задача 2. Даны a₁ = 1, a₂ = 2 и aₙ₊₂ = aₙ₊₁ + aₙ. Найдите a₃, a₄ и a₅. Правило второго порядка использует сразу два предыдущих значения. Значит, при каждом вычислении складываем два уже известных члена, а не только ближайший к искомому.

1. Для a₃ берём a₂ и a₁: a₃ = a₂ + a₁ = 2 + 1 = 3.
2. Для a₄ используем a₃ и a₂: a₄ = a₃ + a₂ = 3 + 2 = 5.
3. Для a₅ берём a₄ и a₃: a₅ = a₄ + a₃ = 5 + 3 = 8.

Ответ: a₃ = 3, a₄ = 5, a₅ = 8. Индексы показывают, что в каждом шаге складываются два члена непосредственно перед искомым.

Задача 3. Даны a₁ = 2, a₂ = 5, aₙ₊₂ = 2aₙ₊₁ − aₙ. Найдите a₃, a₄ и объясните, почему правило с начальными условиями задаёт последовательность однозначно. Сначала проверяем, что в правиле нужны два предыдущих члена, и оба начальных значения известны. Затем вычисляем новые члены по очереди.

1. Подставляем a₂ и a₁: a₃ = 2a₂ − a₁ = 2·5 − 2 = 8.
2. Для a₄ подставляем a₃ и a₂: a₄ = 2a₃ − a₂ = 2·8 − 5 = 11.
3. На каждом следующем шаге оба нужных предыдущих значения уже определены. Поэтому правило не оставляет выбора, какое число подставить и каким будет результат.

Ответ: a₃ = 8, a₄ = 11. Два начальных значения позволяют начать вычисление, а правило второго порядка однозначно определяет каждый следующий член.

Типичные ошибки

Начинать вычисления без начальных условий — значит пытаться применить правило, не зная нужных значений. Это делают, когда принимают формулу за полное описание последовательности, хотя она может допускать разные варианты. Проверь, указаны ли первые члены, необходимые для подстановки. Если их нет, конкретную последовательность обычно определить нельзя.

В соотношении второго порядка иногда подставляют только один предыдущий член и забывают второй. Так происходит, если ориентироваться лишь на ближайшее число в записи. Перед вычислением выпиши все члены, от которых зависит искомый. Например, для aₙ₊₂ = aₙ₊₁ + aₙ нужны и aₙ₊₁, и aₙ.

Порядок иногда ошибочно определяют по индексу искомого члена: например, считают, что aₙ₊₂ означает второй порядок само по себе. Порядок на самом деле показывает число предыдущих членов, необходимых для вычисления. Чтобы проверить себя, перечисли все используемые значения: если нужны два, правило второго порядка, даже если индексы записаны иначе.

Наличие предыдущих членов ещё не делает соотношение линейным. Ошибка возникает, когда не замечают квадрат или произведение членов. Проверь, входят ли они только в первой степени и не перемножаются ли друг с другом. Запись aₙ₊₁ = aₙ² нелинейна, хотя связывает следующий член с предыдущим.

Связь с другими темами

Для работы с рекуррентными правилами нужны знания о последовательностях и их индексах: без них легко перепутать, какой член подставлять. Также пригодится умение работать с линейными выражениями и подставлять значения вместо переменных. Рекуррентные соотношения используют для описания числовых последовательностей, пошаговых процессов и алгоритмов. В таких задачах очередное состояние часто зависит от предыдущего.

Что запомнить

• Рекуррентное соотношение задаёт следующий член через предыдущие.
• Линейное соотношение содержит предыдущие члены только в первой степени.
• Порядок показывает, сколько предыдущих членов нужно для вычисления следующего.
• Для соотношения порядка k обычно задают k начальных членов.
• Начальные условия вместе с правилом определяют конкретную последовательность.
• Члены последовательности вычисляют последовательно, соблюдая индексы.