"Алгебра", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на число q, причём |q| < 1. Её члены по модулю становятся всё меньше и стремятся к нулю, а суммы первых n членов приближаются к конечному числу. Это число называют суммой бесконечной прогрессии и находят по формуле S = b₁ / (1 − q). Такая формула помогает, например, превращать периодические десятичные дроби в обыкновенные.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получают умножением предыдущего на одно и то же число. Первый член обозначают b₁, а постоянное число — q, знаменатель прогрессии. Например, если b₁ = 3 и q = 2, первые члены равны 3, 6, 12. Эти обозначения позволяют описать всю последовательность, не выписывая каждый её член.
Знаменатель геометрической прогрессии — число q, равное отношению любого члена, начиная со второго, к предыдущему: q = bₙ₊₁ / bₙ. Например, если соседние члены равны 6 и 3, то q = 3 / 6 = ½. Зная q, можно получить следующий член умножением на него. Поэтому знаменатель помогает и распознавать прогрессию, и находить её члены.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это геометрическая прогрессия, для которой |q| < 1. Модуль числа показывает его расстояние от нуля, поэтому при таком q модули членов становятся всё меньше и стремятся к нулю. При отрицательном q сами члены могут менять знак, но это не мешает их модулям уменьшаться. Условие |q| < 1 понадобится, чтобы найти сумму бесконечной прогрессии.
Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют предел сумм первых n её членов при n, стремящемся к бесконечности. Суммы первых n членов называются частичными суммами: каждая из них включает только конечное количество слагаемых. Если они приближаются к одному числу, это число и есть сумма прогрессии. Такое определение объясняет, в каком смысле можно говорить о сумме бесконечного набора членов.
Сначала рассматривают сумму конечного числа членов, для которой можно записать обычное выражение. Если q ≠ 1, сумма первых n членов геометрической прогрессии равна Sₙ = b₁(1 − qⁿ) / (1 − q). Формула учитывает, что каждый следующий член получается умножением на q: члены имеют вид b₁, b₁q, b₁q² и так далее. Условие q ≠ 1 нужно, потому что при q = 1 знаменатель формулы обращается в ноль, а сама прогрессия состоит из одинаковых членов.
Чтобы перейти к бесконечной сумме, нужно понять, что происходит с qⁿ при росте n. Когда |q| < 1, каждое следующее умножение уменьшает модуль степени: например, степени ½ равны ½, ¼, ⅛ и далее приближаются к нулю. Если q отрицательно, степени меняют знак, но их модули всё равно уменьшаются по той же причине. Поэтому условие |q| < 1 одновременно означает, что члены прогрессии по модулю стремятся к нулю.
Сумма бесконечной прогрессии получается как предел частичных сумм. В формуле Sₙ = b₁(1 − qⁿ) / (1 − q) при n, стремящемся к бесконечности, часть qⁿ стремится к нулю, а 1 − qⁿ — к единице. Значит, Sₙ приближается к b₁ / (1 − q), и именно это число является суммой. Важно сохранить скобки: знаменатель целиком равен 1 − q.
Отрицательный знаменатель не отменяет этот переход. Например, при q = −½ члены имеют знаки плюс, минус, плюс, минус, а их модули уменьшаются вдвое. Так как |q| = ½ < 1, степени qⁿ всё равно стремятся к нулю, и формула суммы остаётся верной без изменений. Подставлять вместо q его модуль нельзя: это изменило бы знаки членов и само значение суммы.
Бесконечную сумму не получают простым сложением бесконечного числа слагаемых за один раз. Вместо этого складывают сначала несколько членов, затем больше и больше, и следят, к какому числу приближаются результаты. Это число — предел частичных сумм. Такой смысл позволяет аккуратно работать с бесконечной прогрессией, хотя каждую отдельную частичную сумму можно вычислить за конечное число действий.
| Что рассматривается | Обозначение или формула | Условие или пояснение |
|---|---|---|
| Первый член | b₁ | Начальный член прогрессии |
| Знаменатель прогрессии | q = bₙ₊₁ / bₙ | Отношение соседних членов |
| n-й член прогрессии | bₙ = b₁qⁿ⁻¹ | n — номер члена, n ≥ 1 |
| Сумма первых n членов | Sₙ = b₁(1 − qⁿ) / (1 − q) | q ≠ 1 |
| Сумма бесконечно убывающей прогрессии | S = b₁ / (1 − q) | |q| < 1 |
Сначала по соседним членам найдите q, затем проверьте условие |q| < 1. После этого используйте формулу бесконечной суммы, подставляя q со знаком, а не его модуль.
Если задача спрашивает сумму только первых n членов, применяйте формулу для Sₙ, а не для бесконечной прогрессии. Сверяйте ответ с условием задачи и проверяйте, что в знаменателе стоит всё выражение 1 − q.
Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии 12; 6; 3; …
Ответ: 24. Частичные суммы здесь приближаются к 24, потому что после первых членов добавляются всё меньшие положительные числа.
Найти сумму прогрессии 8; −4; 2; −1; …
Ответ: 16/3. Отрицательные слагаемые вычитаются из положительных, поэтому сумма меньше первого члена; полученное значение этому не противоречит.
Представить периодическую десятичную дробь 0,272727… в виде обыкновенной дроби.
Ответ: 0,272727… = 3/11. Повторяющийся десятичный блок превращается в прогрессию потому, что его разрядное положение каждый раз сдвигается на два знака.
Формулу бесконечной суммы применяют, не проверив условие |q| < 1. Это делают, увидев геометрическую прогрессию и сразу подставив её числа в формулу, но при |q| ≥ 1 степени qⁿ не стремятся к нулю. Для самопроверки сначала вычислите модуль знаменателя. Если он не меньше единицы, такая бесконечная сумма по этой формуле не существует.
В знаменателе теряют скобки и записывают b₁ / 1 − q вместо b₁ / (1 − q). Запись без скобок означает сначала разделить b₁ на 1, а затем вычесть q, поэтому она задаёт другое вычисление. Перед подстановкой проверьте, что весь знаменатель 1 − q заключён в скобки. Полезно отдельно вычислить его значение, а уже потом выполнять деление.
При отрицательном q в формулу подставляют его модуль. Ошибка возникает из-за того, что условие с модулем проверяют верно, но переносят модуль и в саму формулу; так исчезает чередование знаков. Проверка простая: q находят как отношение соседних членов со знаком, а модуль используют только для условия |q| < 1. Например, для 8; −4; … нужно подставлять q = −½.
Сумму первых n членов принимают за сумму всей бесконечной прогрессии. Частичная сумма включает лишь конечное число слагаемых и обычно ещё не равна пределу. Чтобы получить бесконечную сумму, начните с формулы Sₙ и рассмотрите, к чему она стремится при n → ∞. Проверьте, что учли qⁿ → 0 и использовали условие |q| < 1.
Для работы с бесконечной суммой нужно знать определение геометрической прогрессии, её n-й член и формулу суммы первых n членов. Именно формула конечной суммы становится отправной точкой для перехода к пределу. Если перепутать её с формулой бесконечной суммы, можно не учесть условие на q.
Понадобятся свойства степеней и понимание того, как ведут себя степени числа по модулю меньше единицы. Из них следует, что qⁿ стремится к нулю, а значит, исчезает соответствующая часть формулы частичной суммы. Это объясняет, почему у бесконечной суммы появляется конечное значение.
Формула помогает переводить периодические десятичные дроби в обыкновенные. Повторяющиеся блоки можно представить как геометрическую прогрессию, где каждый следующий блок меньше предыдущего в одинаковое число раз. Найдя её сумму, получают точное значение десятичной дроби в виде обыкновенной.
Почему бесконечная сумма может иметь конечное значение?
При |q| < 1 каждый следующий член по модулю меньше предыдущего, а члены стремятся к нулю. Поэтому добавка к частичной сумме становится всё меньше, и суммы первых n членов приближаются к конечному пределу.
Как проверить, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей?
Найдите знаменатель q — отношение любого члена, начиная со второго, к предыдущему. Если |q| < 1, прогрессия бесконечно убывающая; если |q| ≥ 1, формулу её бесконечной суммы применять нельзя.
Можно ли применять формулу суммы, если знаменатель отрицательный?
Да, если при этом |q| < 1. Члены будут менять знак, но их модули будут стремиться к нулю, поэтому частичные суммы всё равно имеют предел.
Почему в формуле суммы стоит знаменатель 1 − q?
Сумма первых n членов равна b₁(1 − qⁿ) / (1 − q). При |q| < 1 выражение qⁿ стремится к нулю, поэтому в пределе остаётся b₁ / (1 − q).
Как периодическую десятичную дробь представить в виде обыкновенной?
Запишите дробь как сумму повторяющихся блоков, каждый из которых в десятичной записи сдвинут на одинаковое число разрядов. Получится геометрическая прогрессия с |q| < 1; найдите её сумму по формуле b₁ / (1 − q).
4.6. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
