"Алгебра", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Сумма n первых членов геометрической прогрессии — это результат сложения её первых n элементов. Формула суммы помогает быстро найти результат, не выписывая все слагаемые, даже если их много. Для её применения нужны первый член b₁, знаменатель q и число слагаемых n. Главный шаг — выбрать формулу с учётом значения q: при q ≠ 1 используют дробь со степенью qⁿ, а при q = 1 сумма равна nb₁.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получают умножением предыдущего на одно и то же число. Например, в последовательности 3, 6, 12, … каждый член вдвое больше предыдущего. Это определение помогает отличить геометрическую прогрессию от других последовательностей и найти правило перехода от одного члена к следующему.
Знаменатель геометрической прогрессии q — постоянное число, на которое умножают предыдущий член, чтобы получить следующий: bₙ₊₁ = bₙq. Например, если соседние члены равны 3 и 6, то q = 6 : 3 = 2. Зная знаменатель, можно восстановить пропущенные члены и выразить любой член через первый.
Сумма n первых членов геометрической прогрессии Sₙ — это сумма b₁ + b₂ + … + bₙ. Здесь b₁ — первый член, а n показывает, сколько именно членов складывают. Такое обозначение позволяет коротко записать задачу о сумме и не путать её с отдельным членом последовательности.
Формула суммы геометрической прогрессии — выражение, которое позволяет найти Sₙ по первому члену, знаменателю и числу слагаемых. Она заменяет длинное сложение вычислением по известным параметрам. При её использовании сначала выясняют, равен ли знаменатель единице: от этого зависит, какую запись брать.
Запишем сумму Sₙ = b₁ + b₂ + … + bₙ и умножим обе части равенства на q. Получится qSₙ = b₁q + b₂q + … + bₙq. Так можно сделать, потому что равенство остаётся верным при умножении обеих его частей на одно и то же число. По правилу геометрической прогрессии b₁q = b₂, b₂q = b₃ и далее, поэтому новая запись принимает вид qSₙ = b₂ + b₃ + … + bₙ₊₁.
Теперь вычтем исходную запись суммы из умноженной на q. В правой части получится (b₂ + b₃ + … + bₙ₊₁) − (b₁ + b₂ + … + bₙ). Члены b₂, b₃ и так далее до bₙ встречаются в обеих скобках, поэтому при вычитании каждый из них сокращается. Останутся только крайние члены: qSₙ − Sₙ = bₙ₊₁ − b₁, то есть (q − 1)Sₙ = bₙ₊₁ − b₁.
Чтобы выразить сумму, делим обе части последнего равенства на q − 1. При q ≠ 1 деление допустимо, а bₙ₊₁ можно заменить выражением b₁qⁿ: по правилу n-го члена это член с номером n + 1. Так получаем Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1). Если умножить числитель и знаменатель дроби на −1, знаки в обоих меняются, и выходит равносильная запись Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q).
Если q = 1, каждый следующий член равен предыдущему, значит, все n слагаемых равны b₁. Поэтому их сумма Sₙ = nb₁, а формула с делением на q − 1 не подходит: в знаменателе оказались бы ноль. При решении задачи сначала найди q и посчитай число слагаемых. Затем выбери формулу по значению q и только после этого подставляй данные, внимательно вычисляя степень qⁿ.
| Случай | Формула для Sₙ | Условие |
|---|---|---|
| Знаменатель q не равен 1 | Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1) | q ≠ 1 |
| Знаменатель q не равен 1 | Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q) | q ≠ 1; форма равносильна предыдущей |
| Знаменатель q равен 1 | Sₙ = nb₁ | q = 1; все члены прогрессии равны b₁ |
Сначала определите знаменатель и сравните его с единицей, затем выберите подходящую строку. Две формулы для случая q ≠ 1 дают один результат, поэтому можно пользоваться той, где удобнее считать. Число n должно соответствовать количеству складываемых членов, а не выбираться автоматически по последнему записанному в условии элементу.
Найдём сумму первых пяти членов прогрессии 3, 6, 12, … . Здесь заданы первые элементы, а правило продолжения нужно использовать, чтобы найти b₁ и q. Затем применим формулу суммы и проверим, что сложили ровно пять членов.
Теперь найдём сумму первых шести членов, если b₁ = 8 и q = ½. Дробный знаменатель не меняет формулу, но при возведении в степень важно возвести в неё всю дробь. Используем запись с 1 − qⁿ, чтобы расчёт получился удобным.
В последней задаче известны b₁ = 5 и q = −2, а требуется найти наименьшее n, при котором Sₙ = −315. Здесь число слагаемых неизвестно, поэтому сначала составим уравнение из формулы суммы. После решения нужно убедиться, что найденное n натуральное и действительно даёт заданную сумму.
Формулу с делением на q − 1 иногда применяют при q = 1. Так поступают, если подставляют числа, не проверив знаменатель; в результате возникает деление на ноль. Сначала вычислите q, а если он равен единице, найдите сумму по формуле Sₙ = nb₁.
В формуле могут по ошибке написать qⁿ⁻¹ вместо qⁿ. Путаница возникает из-за формулы отдельного члена, где действительно встречается степень с показателем на единицу меньше номера. Проверьте, что складываете n членов: крайний член в умноженной записи — bₙ₊₁, поэтому в формуле суммы появляется qⁿ.
Иногда в дроби соединяют числитель из одной записи со знаменателем из другой, например берут 1 − qⁿ и q − 1. Эти выражения имеют противоположные знаки, поэтому такая замена меняет знак ответа. Проверка проста: используйте либо пару qⁿ − 1 и q − 1, либо пару 1 − qⁿ и 1 − q.
Ещё одна ошибка — подставлять вместо b₁ другой член прогрессии или неверно считать число слагаемых. Обычно так происходит, когда данные переписывают в формулу без обозначений. Перед вычислением отдельно выпишите первый член и n, а затем проверьте, что формула описывает именно требуемое количество членов.
Для работы с суммой нужно уметь распознавать геометрическую прогрессию, находить её знаменатель и выражать n-й член через первый член и знаменатель. Эти знания объясняют, почему в формуле суммы появляются b₁ и степень qⁿ. Также понадобятся действия со степенями и дробями, в том числе возведение отрицательных и дробных чисел в натуральную степень.
Формула суммы позволяет решать задачи о сложении членов последовательностей, когда записывать все слагаемые неудобно. Позже этот способ пригодится при изучении суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии. Умение отличать сумму конечного числа членов от суммы бесконечной последовательности помогает правильно выбирать формулу.
Почему при выводе формулы умножают сумму на q?
Умножение на q превращает каждый член прогрессии в следующий: b₁q = b₂, b₂q = b₃ и так далее. Поэтому при вычитании двух записей почти все слагаемые совпадают и сокращаются.
Почему промежуточные члены сокращаются при вычитании?
В сумме, умноженной на q, стоят члены b₂, b₃, …, bₙ, а в исходной сумме — b₁, b₂, …, bₙ. Каждый член от b₂ до bₙ присутствует в обеих записях с одинаковым коэффициентом, поэтому при вычитании он исчезает.
Можно ли пользоваться формулой суммы, если q = 1?
Формулу с делением на q − 1 применять нельзя: при q = 1 знаменатель равен нулю. В этом случае все члены равны b₁, поэтому Sₙ = nb₁.
Какую из двух равносильных формул суммы удобнее выбрать?
Выбирайте запись, в которой проще вычислять числитель и знаменатель: Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1) или Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q). Они равносильны, потому что при переходе от одной записи к другой числитель и знаменатель меняют знак.
Что делать, если в задаче известна сумма, а число членов нужно найти?
Подставьте известные значения в формулу суммы и составьте уравнение с неизвестным n. Затем решите его, учитывая, что n должно быть натуральным числом, и проверьте найденное значение подстановкой.
4.5. Сумма n первых членов геометрической прогрессии
