"Алгебра", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Сумма n первых членов геометрической прогрессии помогает быстро сложить несколько её первых чисел, не выписывая их все. Она обозначается Sₙ и зависит от первого члена b₁, знаменателя q и количества членов n. Если q ≠ 1, сумму находят по формуле с qⁿ; если q = 1, все члены одинаковы и достаточно умножить b₁ на n. Эти правила полезны и в вычислениях, и в задачах о повторяющемся увеличении или уменьшении величины.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сумма n первых членов геометрической прогрессии — это результат сложения её первых n членов; её обозначают Sₙ. Индекс n показывает количество слагаемых: S₅ означает сумму пяти первых членов, а не пятый член прогрессии. Это обозначение позволяет коротко записывать и находить сумму любого заданного числа членов.
Формула суммы геометрической прогрессии — правило, которое позволяет вычислить Sₙ, зная первый член b₁, знаменатель q и число членов n. Знаменатель q показывает, во сколько раз каждый следующий член отличается от предыдущего. Формула полезна, когда членов много: вместо последовательного сложения можно подставить три параметра и выполнить вычисление.
Если q = 1, каждый член прогрессии равен b₁, потому что умножение на единицу не меняет число. Тогда сумма n членов — это n одинаковых слагаемых b₁, то есть Sₙ = nb₁. Этот случай выделяют отдельно, так как обычная формула суммы содержит деление на q − 1, а при q = 1 делить пришлось бы на ноль.
Пусть первый член прогрессии равен b₁, а её знаменатель — q. Тогда первые члены можно записать как b₁, b₁q, b₁q² и далее; поэтому сумма n членов имеет вид Sₙ = b₁ + b₁q + b₁q² + … + b₁qⁿ⁻¹. Степень у первого члена равна нулю, потому что b₁ = b₁q⁰. Каждый следующий член содержит на одну степень q больше, так как получается умножением предыдущего на q.
Чтобы получить формулу, сначала предположим, что q ≠ 1, и умножим всю сумму на q: qSₙ = b₁q + b₁q² + … + b₁qⁿ. Теперь вычтем исходную сумму из полученного равенства. Почти все слагаемые совпадут и сократятся: останутся b₁qⁿ в первом выражении и b₁ в исходном, поэтому qSₙ − Sₙ = b₁qⁿ − b₁. Слева можно вынести Sₙ, а справа — b₁: Sₙ(q − 1) = b₁(qⁿ − 1).
Делим обе части на q − 1, что допустимо именно при q ≠ 1, и получаем Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1). Показатель qⁿ появляется потому, что при умножении исходной суммы на q последний член b₁qⁿ⁻¹ превращается в b₁qⁿ. Это не означает, что в самой сумме есть член с такой степенью: последний член из n слагаемых по-прежнему равен b₁qⁿ⁻¹.
Формулу можно записать иначе: Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q). Чтобы перейти к этой записи, числитель и знаменатель дроби (qⁿ − 1)/(q − 1) умножают на −1. Значение дроби при этом не меняется, поскольку числитель и знаменатель меняют знак одновременно. Выбор варианта — дело удобства: например, при q меньше единицы знаменатель 1 − q положителен.
При q = 1 вывод через деление на q − 1 не работает, потому что получается ноль в знаменателе. Но смысл прогрессии ясен: b₁, b₁, b₁ и так далее, поэтому n одинаковых членов дают Sₙ = nb₁. В задаче сначала определи b₁, q и n, а затем проверь, равен ли q единице. Если q ≠ 1, используй одну из двух равносильных формул; если q = 1 — умножь первый член на число слагаемых.
| Условие | Формула для Sₙ | Когда применять |
|---|---|---|
| q ≠ 1 | Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1) | Если известны b₁, q и n |
| q ≠ 1 | Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q) | То же выражение в равносильной записи |
| q = 1 | Sₙ = nb₁ | Если все члены прогрессии равны b₁ |
Сначала найди условие, которое подходит к значению q: при q = 1 применяй только третью строку. Если q ≠ 1, выбери одну из первых двух записей — они равносильны. Подставляя данные, отдельно проверь степень qⁿ и количество членов n.
Выпишем параметры, чтобы не спутать количество членов со знаменателем. Первый член равен 3, а каждый следующий вдвое больше предыдущего, значит q = 2. Нужно найти сумму пяти членов, поэтому n = 5; так как q ≠ 1, подходит формула суммы геометрической прогрессии.
Полученная сумма относится к пяти членам, хотя в условии выписаны только три. Ответ: S₅ = 93.
Знаменатель здесь дробный, но формула действует так же, как и при целом q. Поскольку q = ½ не равен единице, деление на q − 1 допустимо. Удобно сразу выбрать запись с 1 − q: её знаменатель положителен и вычисления будут наглядными.
При проверке можно сложить члены 16, 8, 4, 2, 1 и ½: результат тоже равен 31,5. Ответ: 31,5.
Количество страниц за каждый день образует геометрическую прогрессию: ежедневный результат умножается на одно и то же число. Первый член равен 2, знаменатель равен 1,5, а число дней — 5. Чтобы найти общее количество страниц, требуется сумма этих пяти членов, а не только результат последнего дня.
По условию величина каждый день увеличивается, поэтому итоговая сумма больше пяти первых двух страниц; найденное число этому соответствует. Ответ: за пять дней ученик прочитал 26⅜ страницы.
Нельзя подставлять q = 1 в формулу с знаменателем q − 1: знаменатель станет нулём, и вычисление потеряет смысл. Так ошибаются, когда запоминают только одну формулу и не проверяют условие её применения. Перед подстановкой отдельно сравни q с единицей; при равенстве используй Sₙ = nb₁.
Не путай степень последнего члена с числом членов: n-й член равен b₁qⁿ⁻¹, а не b₁qⁿ. Ошибка появляется, если считать, что первая степень — это q¹, хотя первый член содержит q⁰. Для проверки выпиши первые несколько степеней: у первого члена 0, у второго 1, у последнего n − 1.
Нельзя менять порядок вычитания только в числителе либо только в знаменателе. Например, дроби (qⁿ − 1)/(q − 1) и (1 − qⁿ)/(q − 1) в общем случае имеют разные знаки. Переход ко второй записи требует заменить знак и сверху, и снизу; проверить себя можно, заметив, что умножение всей дроби на −1 не меняет её значения.
Число членов n не является знаменателем прогрессии q: буквы обозначают разные параметры. Путаница возникает потому, что оба числа участвуют в формуле и могут быть заданы в условии рядом. Перед вычислением выпиши отдельно b₁, q и n, а затем проверь смысл: q — отношение соседних членов, n — сколько членов складывают.
Для работы с суммой нужно знать, что такое геометрическая прогрессия, и уметь определять её первый член b₁ и знаменатель q. Пригодится и формула n-го члена bₙ = b₁qⁿ⁻¹: она помогает найти пропущенный член или определить число членов, если известен последний член. Формула суммы использует те же параметры, но отвечает на другой вопрос — как сложить несколько членов.
Сумма геометрической прогрессии встречается в текстовых задачах, где величина каждый раз увеличивается или уменьшается в одинаковое число раз. Например, так можно описать рост ежедневного объёма работы или уменьшение оставшейся доли. Позже этот способ рассуждения пригодится при изучении бесконечной геометрической прогрессии, где рассматривают сумму уже не фиксированного числа членов.
Почему в формуле суммы появляется степень qⁿ, если последний член содержит qⁿ⁻¹?
При выводе формулы сумму умножают на q, поэтому последний член исходной суммы b₁qⁿ⁻¹ превращается в b₁qⁿ. После вычитания именно эта степень остаётся в выражении для суммы.
Можно ли пользоваться формулой суммы, если q = 1?
Формулу с делением на q − 1 использовать нельзя: при q = 1 знаменатель равен нулю. В этом случае все n членов равны b₁, поэтому Sₙ = nb₁.
Почему формулы с qⁿ − 1 и 1 − qⁿ дают один результат?
Числитель и знаменатель в одной дроби отличаются от соответствующих частей другой только знаком. Если умножить и числитель, и знаменатель на −1, значение дроби не изменится.
Как определить число членов, если последовательность записана не полностью?
Число членов n нужно взять из условия задачи или определить по тому, сколько членов требуется сложить. Если задан последний член, можно использовать формулу bₙ = b₁qⁿ⁻¹ и найти n, а затем подставить его в формулу суммы.
Какую запись формулы удобнее выбрать, если знаменатель q − 1 отрицательный?
Можно выбрать равносильную запись Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q): при q < 1 её знаменатель положителен. Обе формулы дают один результат, поэтому выбирай ту, с которой проще считать, сохраняя порядок знаков.
§ 25. Сумма n первых членов геометрической прогрессии
