"Алгебра", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Бесконечная геометрическая прогрессия продолжается без конца, но при знаменателе q, для которого |q| < 1, её члены становятся всё меньше. Поэтому можно сложить не только первые несколько чисел, но и определить предел таких сумм. Главный результат темы — формула S = a₁/(1 − q), где a₁ — первый член прогрессии. Перед её применением нужно найти q и проверить условие |q| < 1; знак знаменателя может быть как положительным, так и отрицательным.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый следующий член получают умножением предыдущего на одно и то же число. Это число называют знаменателем прогрессии и обозначают q. Например, если каждый член вдвое больше предыдущего, то q = 2; по знаменателю можно восстановить всю последовательность.
Бесконечная геометрическая прогрессия — геометрическая прогрессия, члены которой продолжаются без конца: a₁, a₂, a₃, … . Многоточие показывает, что после любого указанного члена есть следующий. Такая запись нужна, когда исследуют не отдельное конечное сложение, а поведение всех членов последовательности.
Сумма первых n членов — число Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ. При q ≠ 1 её можно вычислить по формуле Sₙ = a₁(1 − qⁿ)/(1 − q). Эта формула помогает находить конечные суммы, не складывая каждый член отдельно, и станет основой для перехода к бесконечной сумме.
Суммой бесконечной геометрической прогрессии называют предел сумм её первых n членов, если такой предел существует. Иными словами, рассматривают, к какому числу приближается Sₙ при увеличении n. Такое определение позволяет осмысленно говорить о сумме бесконечного числа слагаемых.
Условие |q| < 1 означает, что знаменатель находится между −1 и 1. Каждый следующий член получается умножением на число, модуль которого меньше единицы, поэтому модуль члена уменьшается: |aₙ₊₁| = |aₙ|·|q|. Чем больше раз повторяется умножение на такой q, тем ближе члены к нулю. Именно это убывание позволяет ожидать, что добавление новых членов будет всё меньше менять сумму.
Чтобы получить формулу конечной суммы, обозначим Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ. Умножим всё равенство на q: qSₙ = a₂ + a₃ + … + aₙ₊₁, потому что каждый член прогрессии при умножении на q становится следующим. Вычтем второе равенство из первого: Sₙ − qSₙ = a₁ − aₙ₊₁ = a₁ − a₁qⁿ⁻¹? Нет: последний член сдвинутой суммы равен aₙ₊₁ = a₁qⁿ, поэтому Sₙ(1 − q) = a₁(1 − qⁿ). Разделив на 1 − q при q ≠ 1, получим Sₙ = a₁(1 − qⁿ)/(1 − q).
При |q| < 1 величина qⁿ стремится к нулю при росте n. Причина в том, что при каждом умножении модуль степени уменьшается в |q| раз; это верно и для отрицательного q, хотя знак степеней чередуется. Поэтому в формуле Sₙ член qⁿ можно заменить его пределом 0, а сами суммы первых n членов переходят к пределу при n → ∞.
Подставляя предел qⁿ = 0 в формулу конечной суммы, получаем S = a₁(1 − 0)/(1 − q), то есть S = a₁/(1 − q). Это и есть сумма бесконечной геометрической прогрессии. Условие |q| < 1 здесь обязательно: именно оно гарантирует, что qⁿ стремится к нулю и предел сумм существует.
Знаменатель может быть отрицательным, и тогда соседние члены имеют разные знаки. Например, при q = −½ каждый новый член вдвое меньше по модулю предыдущего, но знак меняется: положительный, отрицательный, снова положительный. Частичные суммы при этом колеблются, однако размах колебаний становится всё меньше, поэтому они приближаются к одному числу.
| Что рассматриваем | Условие или формула | Что это означает |
|---|---|---|
| Знаменатель прогрессии | q = aₙ₊₁/aₙ | Число, на которое умножают член, чтобы получить следующий. |
| Условие существования суммы | |q| < 1 | Степени q стремятся к нулю, а частичные суммы имеют предел. |
| Сумма первых n членов | Sₙ = a₁(1 − qⁿ)/(1 − q) | Сумма конечного числа первых членов при q ≠ 1. |
| Сумма бесконечной прогрессии | S = a₁/(1 − q), если |q| < 1 | Предел сумм первых n членов при n → ∞. |
Сначала по таблице проверь условие для знаменателя, а затем выбери формулу: для конечного числа членов — Sₙ, для бесконечной суммы — S. Не подставляй значения в формулу бесконечной суммы, пока не убедишься, что |q| < 1. Отрицательное значение q допустимо, если его модуль меньше единицы.
Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии 12; 6; 3; … . Здесь известны первый и второй члены, поэтому можно определить знаменатель как отношение соседних членов. Затем проверим условие сходимости и вычислим сумму.
Ответ: 24. Проверка здравого смысла: сумма больше первого члена, потому что дальше добавляются положительные числа, но она конечна, так как слагаемые быстро уменьшаются.
Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии 5; −2,5; 1,25; … . Смена знака подсказывает, что знаменатель отрицательный. Важно сохранить знак при вычислении выражения 1 − q: именно здесь часто появляется ошибка.
Ответ: 10/3. Сумма меньше 5, потому что после первого положительного члена идут отрицательный и положительный члены, причём отрицательный по модулю больше следующего положительного.
Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 18, а первый член равен 6. Нужно найти возможное значение q. Здесь знаменатель не дан, поэтому выразим его из формулы суммы, а затем проверим, подходит ли найденное число для бесконечной прогрессии.
Ответ: q = 2/3. Подстановка даёт 6/(1 − 2/3) = 6/(1/3) = 18, так что результат совпадает с условием задачи.
Ошибка — применять формулу S = a₁/(1 − q) при |q| ≥ 1. Её допускают, когда запоминают формулу, но забывают, что она получена при стремлении qⁿ к нулю. Перед вычислениями проверь модуль знаменателя; если он не меньше единицы, формула суммы бесконечной прогрессии здесь неприменима.
При отрицательном q иногда теряют скобки и записывают 1 − q как 1 − число без учёта знака. Например, при q = −½ знаменатель равен 1 − (−½) = 3/2, а не 1 − ½. Проверяй подстановку, переписывая отрицательный q в скобках.
Сумму первых n членов путают с бесконечной суммой: в формуле Sₙ есть qⁿ, а в формуле S этого члена уже нет. Причина путаницы — обе формулы описывают сложение членов одной прогрессии. Проверь, что требуется в задаче: конечное число слагаемых или предел при n → ∞.
Некоторые считают, что при отрицательном знаменателе сумма не существует, потому что члены меняют знак. Но смена знака сама по себе не мешает сходимости: при |q| < 1 модули членов убывают к нулю. Для проверки оценивай именно |q|, а не только знак q.
Для этой темы нужны определение геометрической прогрессии, умение находить её знаменатель и формула суммы первых n членов. Новое понятие опирается на предел последовательности: бесконечную сумму определяют как предел частичных сумм Sₙ. Та же идея помогает переводить периодические десятичные дроби в обыкновенные: повторяющиеся цифры представляют бесконечной геометрической прогрессией. Формулу также используют в задачах, где действие или добавление некоторой величины повторяется бесконечно, но каждый раз уменьшается в одном и том же отношении.
Почему для суммы бесконечной прогрессии нужно условие |q| < 1?
При |q| < 1 степени qⁿ стремятся к нулю, поэтому очередные члены прогрессии становятся всё меньше. Тогда суммы первых n членов приближаются к одному числу, которое и называют суммой бесконечной прогрессии.
Как найти знаменатель геометрической прогрессии?
Раздели любой член прогрессии, начиная со второго, на предыдущий: q = aₙ₊₁/aₙ. Например, для членов 12 и 6 получаем q = 6/12 = ½. У геометрической прогрессии это отношение одинаково для каждой пары соседних членов.
Можно ли найти сумму, если знаменатель отрицательный?
Можно, если модуль знаменателя меньше 1. При отрицательном q знаки членов чередуются, но их модули уменьшаются и сумма существует.
Чем сумма первых n членов отличается от суммы бесконечной прогрессии?
Сумма первых n членов Sₙ — это конечное сложение a₁ + a₂ + … + aₙ. Сумма бесконечной прогрессии — предел Sₙ при n → ∞, когда этот предел существует. Поэтому для бесконечной суммы при |q| < 1 используют формулу S = a₁/(1 − q).
Что делать, если в задаче неизвестен знаменатель прогрессии?
Если известны соседние члены, найди их отношение. Если дана сумма и первый член, подставь их в S = a₁/(1 − q) и реши уравнение относительно q. Затем обязательно проверь условие |q| < 1.
§ 26. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше 1
