§ 24. Геометрическая прогрессия

Определения и обозначения

Геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получают умножением предыдущего на одно и то же ненулевое число. Её члены обычно обозначают b₁, b₂, b₃ и так далее, а всю последовательность — (bₙ). Например, 2, 6, 18, … — геометрическая прогрессия: каждый раз число умножают на 3. Определение помогает отличить такую последовательность от других и продолжать её по известному правилу.

Постоянное число, на которое умножают предыдущий член, называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначают q. Его можно найти как отношение любого члена, начиная со второго, к предыдущему: q = bₙ₊₁ / bₙ. Например, для последовательности 2, 6, 18 знаменатель равен 6 / 2 = 3. Зная q, можно проверить, действительно ли правило перехода одинаково для всех соседних членов.

Формула n-го члена bₙ = b₁qⁿ⁻¹ позволяет найти член с номером n по первому члену и знаменателю. Здесь b₁ — первый член, а показатель степени показывает, сколько раз нужно умножить его на q. Такая запись удобна, когда нужно найти далёкий член, не выписывая все предыдущие. Например, для получения b₆ достаточно подставить n = 6 в формулу.

Сумма первых n членов обозначается Sₙ и записывается так: Sₙ = b₁ + b₂ + … + bₙ. Она объединяет первые n чисел последовательности, а не обозначает один член. Поэтому bₙ — отдельное число на месте n, тогда как Sₙ — результат сложения от первого до n-го члена. Это различие важно, когда в задаче нужно выбрать формулу для значения члена или для суммы.

Как это устроено

Из определения сразу получается правило bₙ₊₁ = bₙq: предыдущий член умножают на постоянный знаменатель, чтобы получить следующий. Это называют рекуррентной записью, потому что значение нового члена задаётся через уже известный. Например, если b₁ = 4 и q = 2, то b₂ = 4 · 2 = 8, а затем b₃ = 8 · 2 = 16. Запись показывает сам способ построения прогрессии, но для далёкого члена удобнее формула с номером.

Формула bₙ = b₁qⁿ⁻¹ получается, если последовательно раскрыть правило перехода: b₂ = b₁q, b₃ = b₁q², b₄ = b₁q³. При каждом шаге появляется ещё один множитель q, поэтому от первого члена до члена с номером n возникает n − 1 множителей. Именно этим объясняется показатель степени, а не просто соглашением. Для первого члена показатель равен нулю, и b₁q⁰ = b₁.

Знак q определяет, будут ли знаки членов меняться. При положительном q умножение сохраняет знак, а при отрицательном каждый шаг меняет его, поэтому знаки чередуются. Модуль q показывает, как ведут себя модули членов: если |q| больше 1, при каждом переходе модуль умножается на число больше единицы; если 0 < |q| < 1, он уменьшается. При |q| = 1 модуль не меняется, хотя при q = −1 знак чередуется.

Чтобы получить формулу суммы при q ≠ 1, обозначим Sₙ = b₁ + b₂ + … + bₙ и умножим равенство на q. Тогда qSₙ = b₂ + b₃ + … + bₙ₊₁. Вычитая исходную сумму из полученной, сокращаем общие члены и получаем (q − 1)Sₙ = b₁(qⁿ − 1), откуда Sₙ = b₁(qⁿ − 1) / (q − 1). При q = 1 сокращение невозможно, зато каждый член равен b₁, поэтому Sₙ = nb₁.

В трёх соседних членах при q > 0 средний связан с крайними равенством bₙ² = bₙ₋₁bₙ₊₁. Действительно, bₙ = bₙ₋₁q и bₙ₊₁ = bₙq, поэтому произведение крайних равно bₙ₋₁ · bₙq = (bₙ₋₁q)² = bₙ². Это свойство можно использовать для проверки соседних членов или поиска неизвестного. Условие q > 0 означает, что рассматривается положительный знаменатель.

Основные формулы и свойства геометрической прогрессии

Сначала определите, что требуется найти: знаменатель, отдельный член или сумму. Затем выберите соответствующую строку и проверьте условие, особенно значение q. Для формулы суммы заранее убедитесь, равен ли знаменатель единице.

Разбор задач

Задача 1. Дана прогрессия 3, 12, 48, … Найдите её знаменатель и два следующих члена. Сначала нужно проверить постоянное отношение соседних чисел, а затем продолжить последовательность тем же правилом. Так мы не перепутаем знаменатель с разностью членов.

1. Найдём отношение второго члена к первому: q = 12 / 3 = 4. Проверим по следующей паре: 48 / 12 = 4, значит, отношение действительно постоянно.
2. Умножим последний известный член на q: 48 · 4 = 192. Это четвёртый член прогрессии.
3. Ещё раз умножим на 4: 192 · 4 = 768. Это пятый член.

Ответ: q = 4; следующие члены — 192 и 768.

Задача 2. В геометрической прогрессии b₁ = 5, q = −2. Найдите b₆. Для далёкого члена не нужно выписывать всю последовательность: применим формулу n-го члена. Отрицательный знаменатель означает, что знак зависит от чётности числа умножений.

1. Запишем формулу: bₙ = b₁qⁿ⁻¹. Подставим n = 6, b₁ = 5 и q = −2: b₆ = 5 · (−2)⁵.
2. Вычислим степень. Показатель 5 нечётный, поэтому (−2)⁵ = −32.
3. Умножим: b₆ = 5 · (−32) = −160. Отрицательный знак согласуется с чередованием: от b₁ до b₆ выполнено пять переходов.

Ответ: b₆ = −160.

Задача 3. Найдите сумму первых 8 членов прогрессии, если b₁ = 2 и q = 3. Поскольку q не равен 1, подходит формула суммы с дробью. Подставим данные и сначала вычислим степень, чтобы не потерять порядок действий.

1. Запишем формулу: Sₙ = b₁(qⁿ − 1) / (q − 1). При n = 8 получаем S₈ = 2(3⁸ − 1) / (3 − 1).
2. Вычислим степень: 3⁸ = 6561. Тогда S₈ = 2(6561 − 1) / 2.
3. Вычтем и сократим: S₈ = 2 · 6560 / 2 = 6560. Проверим условие применения формулы: 3 − 1 не равно нулю.

Ответ: S₈ = 6560.

Типичные ошибки

• В формуле n-го члена иногда пишут степень n вместо n − 1. Так происходит, если забыть, что b₁ уже дан и для него не нужно умножение на q. Проверка простая: при n = 1 формула должна вернуть b₁, поэтому показатель обязан быть нулём.

• Знаменатель иногда находят как разность соседних членов. Ошибка возникает из-за сравнения с арифметической прогрессией, где постоянна именно разность. Проверьте себя делением: если отношения соседних членов одинаковы, это нужный знаменатель; разности для геометрической прогрессии могут меняться.

• При отрицательном q можно потерять чередование знаков или неверно возвести отрицательное число в степень. Это часто случается, если не учесть скобки вокруг q. Перед вычислением проверьте чётность n − 1: нечётная степень сохраняет минус, чётная даёт плюс.

• Формулу суммы с делением на q − 1 нельзя использовать при q = 1: получится деление на ноль. Обычно эту ошибку допускают, подставляя числа, не проверив условие формулы. Если q = 1, все члены равны b₁, поэтому найдите сумму умножением: Sₙ = nb₁.

Связь с другими темами

Для работы с геометрической прогрессией нужно уметь находить отношение чисел, возводить числа в степень и подставлять значения в формулы. Она похожа на арифметическую прогрессию, но в той постоянна разность соседних членов, а здесь — их отношение. Такие последовательности помогают описывать повторяющееся умножение: например, изменение величины на один и тот же процент. Поэтому формулы пригодятся при изучении последовательностей, процентов и сложных процентов.

Что запомнить

• В геометрической прогрессии отношение соседних членов постоянно.
• Знаменатель q = bₙ₊₁ / bₙ.
• Формула n-го члена: bₙ = b₁qⁿ⁻¹.
• При q < 0 знаки членов чередуются.
• При q ≠ 1 сумма первых n членов равна b₁(qⁿ − 1) / (q − 1).
• При q = 1 сумма первых n членов равна nb₁.
• Для положительной прогрессии квадрат среднего из трёх соседних членов равен произведению крайних.